Gruppverkan

Gruppverkan är ett begrepp inom matematik som beskriver hur en grupps element verkar på en mängd. Genom en gruppverkan definierar varje element i en grupp en permutation (en bijektiv avbildning) av en mängd till sig själv.

Definition

En vänstergruppverkan av en grupp G på en mängd X är en avbildning från G × X till X, ofta skrivet

$(g,x)\mapsto g.x$

för g i G och x i X. (g, x) är alltså ett element i G × X och g.x är ett element i X. En vänstergruppverkan ska dessutom uppfylla följande villkor:

• Verkan av det neutrala elementet e i G är identitetsavbildningen på X, dvs e.x = x för alla x i X.
• Verkan av ett element g₂ på g₁.x är lika med verkan av g₂g₁ på x, dvs: g₂.(g₁.x) = (g₂g₁).x.

En högergruppverkan definieras likartat som en funktion från X × G till X så att

• (x.g₂).g₁ = x.(g₂g₁).
• x.e = x.

Skillnaden mellan en vänster- och högergruppverkan är i vilken ordning en produkt g₂g₁ verkar på ett element x. För en vänstergruppverkan verkar g₁ först, följt av g₂. I en högergruppverkan verkar g₂ först, följt av g₁.

Varje högergruppverkan kan omvandlas till en vänstergruppverkan (och vice versa), därför kommer bara vänstergruppverkningar behandlas i resten av artikeln.

Exempel

• Den triviala verkan av en grupp G på en mängd x är den verkan där g.x = x för alla g i G.
• En symmetrisk grupp verkar på sin underliggande mängd som permutationer.
• Symmetrigruppen till en geometrisk figur verkar på mängden av punkter i figuren.
• En automorfigrupp till exempelvis ett objekt (exempelvis ett vektorrum eller en graf) verkar på objektet.

Typer av gruppverkan

En verkan av G på X säges vara

• Transitiv om X inte är tom och om för varje par av element x, y i X finns ett g i G så att g.x = y.
• Trogen om det för alla par av distinkta element g₁ och g₂ finns ett element i x så att g₁.x inte är lika med g₂.x. Ett ekvivalent villkor är att det neutrala elementet i G är det enda element i G som har samtliga punkter i X som fixpunkter under gruppverkan.

Banor och stabilisatorer

Låt G vara en grupp som verkar på en mängd X. Banan för ett element x i X är de punkter som kan nås från X med något element från G. Banan till x betecknas Gx eller Orb_G(x):

$\operatorname {Orb} _{G}(x)=Gx=\{g.x\mid g\in G\}$

Mängden av banor under verkan av G bildar en partition av X och en ekvivalensrelation ~ kan definieras genom att x ~ y om och endast om det finns ett g i G så att g.x = y. Banorna är då ekvivalensklasserna.

För varje element x i X kan man definiera stabilisatorn G_x till x under verkan av G:

$G_{x}=\{g\in G:g.x=x\}$.

Stabilisatorn till ett element x bildar en delgrupp till G.

Längden av en bana Gx är antalet sidoklasser i G relativt delgruppen G_x, G_x:s index.

Burnsides lemma säger att antalet banor för en ändlig grupp G är lika med

${\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X_{g}|$

där X_g är mängden av fixpunkter i X till elementet g under gruppverkan.\

Källor

• Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
• Grillet, Pierre Antoine (2007). Abstract Algebra. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-71567-4 
• ”Algebra grundkurs anteckningar” (PDF). http://www.math.kth.se/math/GRU/2008.2009/SF2703/Material/090127.pdf. Läst 11 juli 2011.