Triangulär matris

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Övertriangulär matris)
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en triangulär matris en kvadratisk matris som har endast nollor på ena sidan om diagonalen.

Definitioner[redigera | redigera wikitext]

En matris sägs vara uppåt triangulär, övertriangulär eller högertriangulär om endast talen ovanför och i diagonalen är nollskilda. I en nedåt triangulär, undertriangulär eller vänstertriangulär matris är endast talen i och under diagonalen nollskilda.

Matrisen  U är uppåt triangulär medan matrisen  L är nedåt triangulär:

U =
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\
0      & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0      & 0      & \cdots & u_{nn}
\end{pmatrix}
~~
L =
\begin{pmatrix}
l_{11} & 0      & \cdots & 0 \\
l_{21} & l_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
l_{n1} & l_{n2} & \cdots & l_{nn}
\end{pmatrix}

En strikt triangulär matris har nollskilda element endast på ena sidan om diagonalen, även diagonalen noll. Det finns strikt uppåt triangulära matriser och strikt nedåt triangulära matriser. Alla strikt triangulära matriser är nilpotenta.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • En matris som är både uppåt och nedåt triangulär är en diagonalmatris.
  • En transponerad uppåt triangulär matris är en nedåt triangulär matris och vice versa.
  • Determinanten av en triangulär matris är produkten av diagonalelementen. Detta kan ses genom att man utvecklar efter första rad eller kolonn hela tiden.
  • Beräkningar är lätta att utföra på triangulära matriser, vilket utnyttjas till exempel vid LU-faktorisering.
  • En matris som är både normal och triangulär är diagonal.
  • Varje komplex kvadratisk matris kan genom basbyte uttryckas som en triangulär matris enligt Schurs sats. Med Jordans normalform kan den skrivas på en ännu enklare, triangulär, form.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Ekvationsystemlösning[redigera | redigera wikitext]

Om man har ett ekvationssystem med en nedåt (eller uppåt) triangulär triangulär matris som vänsterled,  L\mathbf{x} = \mathbf{b} , löses denna snabbt genom bakåtsubstition. Ekvationsystemet blir:

 l_{11}x_1 = b_1\,
 l_{21}x_1 + l_{22}x_2 = b_2\,
...
 l_{n1}x_1 + ... + l_{nn}x_n = b_n\,

Lösningen ges då av att man först räknar fram vad  x_1 blir, sätter in den i nästa ekvation, osv:

 x_1 = \frac{b_1}{l_11}\,
 x_2 = \frac{b_2-l_{21}x_1}{l_22}\,
...
 x_n = \frac{b_n - \sum_{k=1}^{n-1}l_{nk}}{l_{n1}}\,

Detta används till exempel vid ekvationssystemlösning med LU-faktorisering.

Se även[redigera | redigera wikitext]