Abelsk grupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom den abstrakta algebran är en abelsk grupp (efter Niels Henrik Abel) en grupp som är kommutativ och på så vis är en generalisering av addition av heltal.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En abelsk grupp är en grupp där operationen är kommutativ, dvs. gruppen (G,*) är abelsk om

a*b=b*a

för alla a och b i G. De andra axiomen, som uppfylls av alla grupper, är att operatorn ska vara associativ, att det finns ett neutralt element och att varje element ska ha en invers.

Man kan också se om en grupp är abelsk i dess Cayleytabell; en grupp är abelsk om och endast om dess Cayleytabell är symmetrisk kring huvuddiagonalen, dvs. elementet på rad i och kolumn j ska vara samma som elementet på rad j och kolumn i.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Camille Jordan uppkallade abelska grupper efter den norske matematikern Niels Henrik Abel, då Jordan noterade deras vikt inom problem om lösning med radikaler, ett problem som behandlades av Abel.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om f och g är homomorfier mellan två abelska grupper är även deras summa (f+g)(x) = f(x)+g(x) en homomorfi. Detta gäller inte i allmänhet för icke-abelska grupper.

Ändliga abelska grupper[redigera | redigera wikitext]

Klassificering[redigera | redigera wikitext]

Fundamentalsatsen av ändliga abelska grupper säger att varje ändlig abelsk grupp G kan skrivas som en direkt summa av cykliska delgrupper av primtalpotensordning. Detta är ett specialfall av fundamentalsatsen för ändligt genererade abelska grupperG har rang noll.

Cykliska gruppen Zmn av ordning mn är isomorfisk till direkta summan av Zm och Zn om och bara om m och n är relativt prima. Ur detta följer det att varje ändlig abelsk grupp G är isomorfisk till en direkt summa av formen

\bigoplus_{i=1}^{u}\ \mathbf{Z}_{k_i}

på något av följande vis:

  • talen k1, ..., ku är primtalspotenser
  • k1 delar k2 som delar k3 och så vidare ända upptill ku.

Exempelvis kan Z15 skrivas som direkta summan av två cykliska delgrupper, av ordningarna 3 och 5: Z15 ≅ {0, 5, 10} ⊕ {0, 3, 6, 9, 12}. Samma gäller för varje abelsk grupp av ordning 15, vilket leder till det överraskande resultatet att alla abelska grupper av ordning 15 är isomorfiska.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Abelian group, 18 januari 2015.