Ahlfors-regelbundet mått

Ett Ahlfors-regelbundet mått är inom matematik ett mått i ett metriskt rum som beter sig som Lebesguemåttet. Måttet är uppkallat efter den finska matematikern Lars Ahlfors.

Definition

Låt (X,d) vara ett metriskt rum. Ett Radonmått $\mu\,$ i $X\,$ är s-Ahlfors-regelbundet om det finns positiva s och c så att:

$c^{-1} r^s \leq \mu(B_r(x)) \leq cr^s$

för alla $x \in \R^n$ och $r > 0$. $B_r(x)$ är bollen med mittpunkt x och radie r.

Exempel

Det n-dimensionella Lebesguemåttet är n-Ahlfors-regelbundet eftersom det är ett Radonmått och för alla $x \in \R^n$ och $r > 0 \,$

$\mathcal{L}_n (B_r(x)) = c(n)r^n$

där $c(n):=\mathcal{L}_n (B_1(0))$.

Geometrisk struktur och Ahlfors-regelbundna rum

Om man kan definiera ett Ahlfors-regelbundet mått i ett metriskt rum, är detta måttstrukturen i det metriska rummet och storleken beter sig på samma sätt som i $\R^n\,$ .

Till exempel, om det finns ett s-Ahlfors-regelbundet mått i det metriska rummet (X,d) så är

• Hausdorffdimensionen $\dim_\mathcal{H} (X) = s\,$,

• En mängd i X är kompakt om och endast om den är sluten och begränsad,

• Man kan skala måttet för mindre mängder: $\mu (B_{2r}(x)) \leq c \mu(B_r(x))$,

precis som i $\R^n\,$.

Om man kan definiera ett Ahlfors-regelbundet mått i ett metriskt rum X så kallas X ett Ahlfors-regelbundet rum, så till exempel är $\R^n$ Ahlfors-regelbundet.

Referenser

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.