Algebrans fundamentalsats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Algebrans fundamentalsats kan formuleras som

Ett polynom

P(z) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0

av graden n>0 med komplexa koefficienter a_0 \ldots a_n har minst en komplex rot.

Varje algebraisk ekvation med komplexa koefficienter av graden n, där n är större än 1, har precis n komplexa nollställen, räknade med multiplicitet (några rötter kan vara lika). Detta kan tyckas vara ett strängare påstående, men det kan lätt visas vara ekvivalent med satsformuleringen genom användning av faktorsatsen.

Koefficienterna anges som komplexa tal vilken innefattar de reella talen, då dessa är isomorfa med de komplexa tal för vilka imaginärdelen är noll.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

En andragradsekvation

ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0

har alltid två rötter. Dessa är

x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}

Om uttrycket under rottecknet är

  • större än noll, är rötterna olika och reella
  • mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
  • lika med noll, är rötterna lika och reella

Ett komplexanalytiskt bevis[redigera | redigera wikitext]

Absolutbeloppet av ett polynom med komplexa koefficienter kan skrivas som

 |P(z)| = |z|^n \left| a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + \ldots + \frac{a_o}{z^n} \right|

där a_n\, \neq\, 0.

Det framgår att |P(z)| \to \infty|z| \to \infty.

Antag att P(z) saknar nollställen. Då är funktionen \frac{1}{P(z)} en hel analytisk funktion. Eftersom den har gränsvärdet 0 då absolutbeloppet av z går mot oändligheten är den begränsad i hela komplexa talplanet. Enligt Liouvilles sats är därför \frac{1}{P(z)} konstant. Men då är även P(z) konstant, vilket är en motsägelse då n > 0.

Följaktligen har P(z) minst ett komplext nollställe.

Algebraiska bevis[redigera | redigera wikitext]

Satsen kan också visas med mer algebraiska metoder. På grund av den topologiska naturen i konstruktionen av reella, och därmed komplexa, tal kan man emellertid inte helt undvika topologiska metoder. Man kan emellertid visa, med hjälp av bland annat galoisteori att en utvidgning av grad 2 av en reellt sluten kropp är algebraiskt sluten. Därmed följer algebrans fundamentalsats om man kan visa att de reella talen är reellt slutna. Detta svarar mot att uddagradspolynom alltid har lösningar, någon som kan visas med hjälp av satsen om mellanliggande värden

Se även[redigera | redigera wikitext]