Analytisk geometri

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Torus.png

Den analytiska geometrin är en gren av geometrin där algebraiska metoder från främst från linjär algebra används för att lösa geometriska problem.

Metoder från analytisk geometri används inom alla tillämpade vetenskaper, men särskilt inom fysiken, till exempel för beskrivningen av planeternas banor. Ursprungligen behandlade analytisk geometri endast frågor rörande planet och den rumsliga (euklidiska) geometrin. Mera allmänt beskriver den analytiska geometrin affina rum av godtyckliga dimensioner över godtyckliga kroppar.

Koordinatsystem[redigera | redigera wikitext]

Cartesien-system.svg

Grundläggande för analytisk geometri är begagnandet av ett koordinatsystem. Vanligen används ett kartesiskt koordinatsystem.

Analytisk geometri i R2[redigera | redigera wikitext]

Koordinatsystem och transformationer[redigera | redigera wikitext]

Med (x, y) betecknas de ursprungliga koordinaterna och med (x', y') de nya.

Parallellförskjutning[redigera | redigera wikitext]

Om x0, y0 är koordinaterna för origo i det nya systemet, så gäller:

x' = x-x_0,\quad y'=y-y_0\,

Rotation[redigera | redigera wikitext]

Om rotationsvinkeln \alpha räknas positiv (den vinkel som positiva x-axeln behöver vridas för att sammanfalla med positiva y-axeln) blir transformationsformlerna

x'=x\cos\alpha + y\sin\alpha \quad x=x'\cos\alpha-y'\sin\alpha\,
y'=y\cos\alpha - x\sin\alpha \quad y=x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\,

Avståndet mellan två punkter[redigera | redigera wikitext]

Avståndet mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2) är

\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\,

Arean av en triangel[redigera | redigera wikitext]

Om triangelns hörn har koordinaterna (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3), är dess area


\pm T = \frac{1}{2}
\begin{vmatrix}
x_1 &y_1 &1\\
x_2 &y_2 &1\\
x_3 &y_3 &1
\end{vmatrix}
=
= \frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\,

För att T skall vara positiv, måste punkterna (x1,y1), (x2, y2) och (x3, y3) följa på varandra i positiv led, det vill säga moturs.

Delning av en sträcka[redigera | redigera wikitext]

Delas sträckan mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2), i förhållandet m/n blir delningspunktens koordinater

 x = \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \quad y = \frac{my_2+ny_1}{m+n}\,

Vinkelkoefficienten för en rät linje[redigera | redigera wikitext]

Låt \alpha vara den vinkel en linje bildar med x-axeln. Om linjen går genom punkterna (x1, y1) och (x2,y2) blir vinkelkoefficienten

 \tan\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1};\quad x_1 \ne x_2\,

Räta linjens ekvation[redigera | redigera wikitext]

Räta linjens ekvation är en förstgradsekvation i x och y och den allmänna formen är

Ax+By+C=0\,

Varje ekvation av första graden representerar en linje.

x=a\,

betyder en rät linje parallell med y-axeln och

y=b\,

är en linje parallell med x-axeln.

y=k\,x\,

är en linje genom origo.

k-formen[redigera | redigera wikitext]

Räta linjen kan skrivas på formen

y=k\,x+m\,

om linjen ej är parallell med y-axeln, det vill säga B är nollskild. Här är k linjens vinkelkoefficient

k = -\frac{A}{B},\quad m = -\frac{C}{B}\,

och m y-koordinaten för linjens skärning med y-axeln.

Intercept-form.svg

Interceptformen[redigera | redigera wikitext]

Interceptformens parametrar är linjens skärningspunkter med x-axeln respektive y-axeln och skrivs

 \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1

där a är x-koordinaten för linjens skärningspunkt med x-axeln och b är y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln eller

a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B}\,

Normalformen[redigera | redigera wikitext]

Line-normal-form.svg
x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,

är normalformen för den räta linjen. \alpha och m bestäms ur

m=-\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}},
\cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}

Kvadratrotens tecken väljs så att m blir positivt.

m är längden av normalen från origo till linjen och \alpha är denna normals vinkel med x-axeln.

Avståndet från en punkt till en rät linje[redigera | redigera wikitext]

Räta linjen skrivs på normalformen

x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,

Då är avståndet från punkten P med koordinaterna (x1,y1):

p=\pm (x_1\cos\alpha + y_1\sin\alpha-m)\,

där tecknet + väljs om origo och P ligger på olika sidor om linjen.

Enpunktsformen[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen för en rät linje genom punkten (x1, y1) med vinkelkoefficienten k är

y-y_1=k(x-x_1)\,

Tvåpunktsformen[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen för en rät linje genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) är

y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\,

Vinkeln mellan två linjer[redigera | redigera wikitext]

Om linjernas vinkelkoefficienter är k1 respektive k2 bestäms vinkeln mellan linjerna av

\tan\beta=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\,

Plana kurvor[redigera | redigera wikitext]

En kurva i ett ortogonalt koordinatsystem ger ett funktionssamband mellan koordinaterna x och y.

Kurvans ekvation kan vara i explicit form

y=f(x)\,

i implicit form

F(x,y)=0\,

eller i parameterform

x=x(t),\quad y=y(t)\,

I polära koordinater (r, \psi) blir kurvans ekvation

r=f(\psi)\,

eller

F(r, \psi)=0\,

Tangenten[redigera | redigera wikitext]

Tangent-2D.svg

Vinkelkoefficienten för tangenten till en kurva i rätvinkliga koordinater är lika med funktionens derivata i tangeringspunkten:

k=\frac{dy}{dx}=\frac{d\,f(x)}{dx}\,
k=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\,\quad\text{(implicit form)}
k=\frac{y'(t)}{x'(t)}\,\quad\text{(parameterform)}
Asymptot.svg

Asymptoter[redigera | redigera wikitext]

Med en asymptot till en kurva menas en linje sådan att avståndet mellan linjen och en punkt på kurvan går mot noll då punkten går mot oändligheten.

Om en asymptot till kurvan y = f(x) har ekvationen y = kx + m, bestäms k och m enligt

k=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x},\quad m=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x) - kx]\,

Analytisk geometri i R3[redigera | redigera wikitext]

Koordinatsystem i R3

Koordinatsystem[redigera | redigera wikitext]

Som koordinatsystem i R3 används tre plan, vanligtvis vinkelräta mot varandra. Planens skärningspunkter kallas x-, y- och z-axlarna. De tre planen betecknas efter ingående axlar som xy-planet, yz-planet och xz-planet.

Rätvinkliga koordinater[redigera | redigera wikitext]

Riktningscosiner[redigera | redigera wikitext]
Riktningscosiner.svg

En punkt P's koordinater (x, y, z) är de vinkelräta avstånden till yz-, xz- och xy-planen. Om \alpha,\,\beta,\,\gamma\, är vinklarna mellan ortsvektorn med längden r och axlarna är

x=r\cos\alpha,\quad y=r\cos\beta,\quad z=r\cos\gamma

där

\cos\alpha,\, \cos\beta,\, \cos\gamma

är riktningscosinerna vilka betecknas a, b och c och för vilka gäller

a^2 + b^2 + c^2 = 1\,
Vinkeln mellan två riktningar[redigera | redigera wikitext]

Om två riktningar är givna, OA1 med riktningscosinerna a1, b1 och c1 och OA2 med riktningscosinerna a2, b2 och c2, så gäller för vinkeln \theta mellan OA1 och OA2:

\cos\theta=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2\,
Rotation av koordinatsystem[redigera | redigera wikitext]

Vid övergång från ett rätvinkligt koordinatsystem (xyz) till ett annat (x'y'z') med gemensamt origo men olika axelriktningar och med riktningscosinerna i xyz-planet betecknade

för x'-axeln med (a', b', c')\,
för y'-axeln med (a'', b'', c'')\,
för z'-axeln med (a''', b''', c''')\,

blir transformationformlerna

\begin{align}
x&=a'x'+b'y'+c'z'\\
y&=a''z'+b''y'+c''z'\\
z&=a'''x'+b'''y'+c'''z'
\end{align}
\begin{align}\qquad
x'&=a'x+a''y+a'''z\\
y'&=b'x+b''y+b'''z\\
z'&=c'x+c''y+c'''z
\end{align}
Avståndet mellan två punkter[redigera | redigera wikitext]

Avståndet d mellan punkterna (x1, y1, z1) och (x2, y2, z2) är

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\,

Om a, b och c är riktningscosinerna för en linje genom de båda punkterna, beräknas dessa som

a=\frac{x_2-x_1}{d},\quad b=\frac{y_2-y_1}{d},\quad c=\frac{z_2-z_1}{d},\,

Plan i R3[redigera | redigera wikitext]

Plane-definition-2.svg

Om (x0, y0, z0) är en ortsvektor till en punkt i planet och (A, B, C) en normalvektor till planet, kan planets ekvation skrivas som skalärprodukten av normalvektorn och vektorn (x - x0, y - y0, z - z0):

(A, B, C)(x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0\,

vilket ger den allmänna formen av planets ekvation som

Ax+By+Cz+D=0\,

där D är

-(Ax_0 + By_0 + Cz_0)\,

En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\quad \frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\quad \frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\,

Tecknet framför roten väljs så att

\frac{D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}}\, alltid är positiv. Därigenom är normalen riktad mot planets "positiva" sida.

Normalform[redigera | redigera wikitext]

Genom division med

\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}\,

erhålls planets ekvation på normalform

x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma=p\,

där \alpha,\beta,\gamma är de vinklar som planets normal bildar med koordinataxlarna och p är längden av normalen från origo till planet.

Vektorform[redigera | redigera wikitext]

Plane-definition.svg

Ekvationen för ett plan med normalvektorn n, en given punkt r0 och med r som ortsvektor för en godtycklig punkt (x, y, z) i planet är

(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\mathbf{n}=0\,

Avståndet från en punkt till ett plan[redigera | redigera wikitext]

Punktens koordinater sätts in i planets normalform

x\cos \alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma-p=0\,

och avståndet är då lika med vänsterledet med tecknet '-' om punkt och origo ligger på samma sida om planet, annars med tecknet '+'.

Exempel:

Beräkna avståndet från punkten (1, -3, 2) till planet

x+2y-2z+6=0\,

Planets ekvation i normalform

\frac{x+2y-2z+6}{-3}=0;\quad d=\frac{1-3\cdot 2-2\cdot 2 +6}{-3}=1\,

Vinkeln mellan två plan[redigera | redigera wikitext]

Vinkeln \omega mellan planen

A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\,
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\,

bestäms av ekvationen

Plane-angle.svg
\cos\omega=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\,

Om planens normalvektorer är kända kan skalärprodukten av normalvektorerna användas för att bestämma vinkeln mellan planen:

\cos\omega=\frac{\mathbf{n}_1\mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}\,

Räta linjen[redigera | redigera wikitext]

IntersectingPlanes.png

Räta linjen kan betraktas som skärningen mellan två plan och representeras av förstagradsekvationerna

A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\,
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\,

En linje är bestämd av en punkt P = (x0, y0, z0) på linjen och en riktningsvektor u:

Line in vector form,R3.svg

I parameterform gäller för en punkt (x, y, z) på linjen:

(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + \lambda (a, b, c)\,

eller

x=x_0+a\lambda\,
y=y_0+b\lambda\,
z=z_0+c\lambda\,

där a, b och c är riktningskoefficienter, eller efter eliminering av parametern

\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\,

I vektorform kan linjens ekvation skrivas

\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{u}\,

Kurvor i R3[redigera | redigera wikitext]

En kurva i R3 kan framställas på flera sätt:

Som skärningen mellan två ytor:

F_1(x,y,z)=0\quad F_2(x,y,z)=0\,

I parameterform:

x=x(t)\quad y=y(t)\quad z=z(t)\,

I vektorform:

\mathbf{r} = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}\,

Exempel:

Skruvlinje.svg

Skruvlinjen kan framställas i parameterform som

x=r\cos(t)\quad y=r\sin(t)\quad z=k t\,

Båglängd[redigera | redigera wikitext]

Längden av ett bågelement på kurvan är

ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\,

Längden av kurvbågen mellan t0 och t är

s=\int_{t_0}^{t}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt\,

Tangent[redigera | redigera wikitext]

Tangentens ekvation i vektorform är

\mathbf{t}=\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0,\quad \mathbf{r}=\mathbf{r_0}+\lambda\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0\,

Normalplanet[redigera | redigera wikitext]

3D-planes.svg

Ekvationen i vektorform för normalplanet i punkten s är

(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0=0\,

Osculerande planet[redigera | redigera wikitext]

I en punkt på en kurva i R3 kan i allmänhet läggas oändligt många tangentplan till kurvan. Det tangentplan som närmast ansluter till kurvan kallas osculerande planet och har ekvationen

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\,

där A, B och C bestäms ur formlerna

A=y'(s)z''(s) - z'(s)y''(s)\,
B=z'(s)x''(s) - x'(s)z''(s)\,
C=x'(s)y''(s) - y'(s)x''(s)\,

eller i vektorform

(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\times\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right)_0=0\,

Principalnormal[redigera | redigera wikitext]

Den normal till kurvan som ligger i det osculerande planet kallas principalnormal. Dess riktning är den samma som för vektorn

\left(\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right)_0\,

Längden av denna vektor benämns krökning K, varför vektorn också kallas krökningsvektor:

K=\left|\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right|_0=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2y}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2z}{ds^2}\right)_0^2}\,

Krökningsradie[redigera | redigera wikitext]

Krökningsradien är krökningens inverterade värde:

R=\frac{1}{K}=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{d^2x}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2y}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2z}{ds^2}\right)_0^2}}\,

Den punkt på principalnormalen som ligger på avståndet R från kurvan kallas krökningscentrum och kan i vektorform anges som

\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 + \left(R^2\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right)_0=\mathbf{r}_0 + R\mathbf{n}\,

Ytor i R3[redigera | redigera wikitext]

En yta i R3 kan skrivas i parameterform

x=x(u,v)\,
y=y(u,v)\,
z=z(u,v)\,

eller i vektorform

\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)\,

Ekvationen kan också vara given på formen

F(x,y,z)=0\,

eller

z=f(x,y)\,

I det senare fallet kan x och y betraktas som parametrar, varvid ekvationen i parameterform blir:

\begin{align}
x&=u\\
y&=v\\
z&=f(u,v)
\,\end{align}

Linjeelement[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
d\mathbf{r}^2 &=ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 =\\
&=\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\right]dx^2+2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}dx\,dy+\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\right]dy^2\,
\end{align}

Tangentplanets ekvation[redigera | redigera wikitext]

Om ekvationen för ytan är

F(x,y,z)=0\,

kan tangentplanets ekvation skrivas om tangeringspunkten är (x0, y0, z0):

(x-x_0)F_{x_0}'+(y-y_0)F_{y_0}'+(z-z_0)F_{z_0}'=0\,

eller i vektorform som

(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)(\text{grad}\,F)_0=0\,

Ytnormalens ekvation[redigera | redigera wikitext]

Om ytans ekvation är

F(x,y,z)=0\,

så gäller för ytnormalen i punkten (x0, y0, z0):

\frac{x-x_0}{F_{x_0}'}=\frac{y-y_0}{F_{y_0}'}=\frac{z-z_0}{F_{z_0}'}\,

eller

\mathbf{r}-\mathbf{r}_0=\lambda(\text{grad}\,F)_0\,

Se även[redigera | redigera wikitext]