Andragradsekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Denna artikel behandlar andragradsekvationer med en obekant.

Inom matematiken är en andragradsekvation en ekvation av följande form:

a x^2 + b x + c = 0, \quad a \ne 0.

Talen a, b och c är ekvationens koefficienter och uttrycket a\neq 0[1] betyder att talet a inte är lika med talet noll. Ordet andragrad- kommer av det faktum att det är talet 2 som är den högsta potensen med vilken det obekanta talet x förekommer i ekvationen. Om den högsta potensen är andra positiva heltal får ekvationen namn därefter; så är exempelvis

  •   x - 1 = 0 en förstagradsekvation;
  • x^2 - 1 = 0 en andragradsekvation;
  • x^3 - 1 = 0 en tredjegradsekvation;
  • x^4 - 1 = 0 en fjärdegradsekvation;
  • x^5 - 1 = 0 en femtegradsekvation.

Lösning av ekvationen[redigera | redigera wikitext]

Att lösa ekvationen motsvarar att finna skärningspunkterna mellan parabeln y=x^2 och den räta linjen y = kx + m, vars lutning k är lika med talet -b/a och som skär y-axeln i punkten (0,m), där talet m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:


\begin{cases}y=x^2;\\y=-\frac{b}{a} \, x - \frac{c}{a}.\end{cases}

En andragradsekvation har alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på vilka tal som är ekvationens koefficienter:

  • Ekvationen x^2 + 2x + 1 = 0 har två lösningar som är identiska reella tal;
  • ekvationen x^2+2x-1=0 har två lösningar som är reella tal;
  • ekvationen x^2 + 2x + 2 = 0 har två lösningar som är konjugerade komplexa tal.

Ekvationens diskriminant avgör vilket av de tre fallen som kommer att uppstå. (Se nedan om diskriminanten till en andragradsekvation.)

Lösningsformeln[redigera | redigera wikitext]

Lösningsformeln, även kallad rotformeln, för andragradsekvationen

ax^2 + bx + c = 0\qquad (1)

är

x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}}

Om a = 1 erhålls den så kallade pq-formeln:

\ x^2 + px + q = 0

som har lösningarna

\ x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

pq-formeln kan fås genom att dividera (1) med a.

Fallet då q = 0, alltså

\ x^2 + px = 0

kan efter utbrytning av x skrivas som

\ x(x + p) = 0

Produkten av två faktorer är noll om minst en av faktorerna är noll. De möjliga lösningarna är således

\ x{_1} = 0
\ x{_2} = -p

Tredjegradsekvationer uppställda som polynom enligt

\ x^3 + px^2 + qx + s = 0

kan lösas med formeln för lösning av andragradsekvationer om s = 0, det vill säga ur

\ x^3 + px^2 + qx = 0

kan x brytas ut:

\ x(x^2 + px + q) = 0

Här måste en av de tre lösningarna vara x = 0. De övriga två erhålls som lösningarna till andragradsekvationen enligt pq-formeln ovan.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Formeln för andragradsekvationens lösningar, eller rötter, kan härledas genom att tillämpa kvadratkomplettering. Först bryts koefficienten a ut:

\ ax^2+bx+c= a\left(x^2 + \frac{b}{a} \, x + \frac{c}{a}\right), \qquad a \neq 0.

Sedan kvadratkompletteras uttrycket inom parenteser ovan, genom att lägga till och dra ifrån \ (b/2a)^2:

\ x^2 + \frac{b}{a} \, x + \frac{c}{a} = \left\{ x^2 + 2 \, \left( \frac{b}{2a} \right) \, x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right\} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a}.

Genom att användande av kvadreringsreglerna skrivs uttrycket sedan inom klamrar {...} som kvadraten av uttrycket \ x + b/2a:

\ x^2 + 2 \, \left( \frac{b}{2a} \right) \, x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2.

Att lösa andragradsekvationen ax^2 + bx + c = 0 har nu blivit samma sak som att lösa följande andragradsekvation:

\ a \left\{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\right)\right\} = 0

Vi vet att talet a inte är lika med noll, varför uttrycket inom de yttre parenteserna måste vara lika med noll:

\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}\right)^2 = 0

Med hjälp av konjugatregeln kan vi skriva denna andragradsekvation som två förstagradsekvationer:

\ \left(x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}\right)\left(x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}\right) = 0.

Om den första faktorn är lika med noll får vi följande ekvation:

\ x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \quad x = -\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}.

Om den andra faktorn är lika med noll får vi:

\ x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \quad x = -\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}.

Antal rötter[redigera | redigera wikitext]

Antalet rötter som andragradsekvationen ax^2+bx+c=0 har, beror på ekvationens diskriminant, D, vilken är uttrycket under kvadratrotssymbolen:

D = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}.

En rot[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen har en dubbelrot om, och endast om, diskriminanten är lika med noll:

D = 0 \quad \Longleftrightarrow x = -\frac{b}{2a}.

Villkoret D = 0 kan bara uppfyllas av andragradsekvationen

ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} = 0.

Två reella rötter[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen har två olika rötter som båda är reella tal om, och endast om, diskriminanten är ett positivt tal:

D > 0 \quad \Longleftrightarrow x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{D}.

Två komplexa rötter[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen har två olika rötter som båda är komplexa tal om, och endast om, diskriminanten är ett negativt tal. Med hjälp av absolutbeloppsfunktionen kan rötterna skrivas som

D < 0 \quad \Longleftrightarrow x = -\frac{b}{2a} \pm i\sqrt{\vert D \vert}.

där den ena roten är det komplexa konjugatet av den andra roten.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

En rot[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen x^2 + 2x + 1 = 0 har bara en rot, eftersom ekvationens diskriminant är lika med noll:

 a = 1, \, b = 2, \, c = 1 \quad \Longrightarrow \quad D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} - \frac{1}{1} = 0.

Roten är talet -1:

Två reella rötter[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen x^2 + 2x - 1 = 0 har två rötter som båda är reella tal, eftersom ekvationens diskriminant är ett positivt tal:

 a = 1, \, b = 2, \, c = -1 \quad \Longrightarrow \quad D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} + \frac{1}{1} = 2.

De båda rötterna är

-1 + \sqrt{2} \quad och \quad -1 - \sqrt{2}.

Två komplexa rötter[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen x^2 + 2x + 3 = 0 har två rötter som båda är komplexa tal, eftersom ekvationens diskriminant är ett negativt tal:

 a = 1, \, b = 2, \, c = 3 \quad \Longrightarrow \quad D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} - \frac{3}{1} = -2.

De båda rötterna är det komplexa konjugat-paret

-1 + i \sqrt{2} \quad och \quad -1 - i \sqrt{2},

där vi har använt symbolen i för att beteckna den imaginära enheten, i^2 =-1 .

Samband mellan rötter och koefficienter[redigera | redigera wikitext]

Om ekvationen skrivs på formen \ x^2+px+q=0 gäller följande samband med dess rötter (lösningar), x_1 och x_2, och dess koefficienter p och q:

\begin{cases} p = -(x_1 + x_2), \\
q = x_1 \cdot x_2. \end{cases}

Talet -p/2 är därför det aritmetiska medelvärdet av ekvationens lösningar och talet \sqrt{q} är det geometriska medelvärdet av lösningarna, förutsatt att koefficienten q är ett positivt tal:

-\frac{p}{2} = \frac{x_1+x_2}{2} \quad och \quad \sqrt{q} = \sqrt{x_1 \cdot x_2}.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Talen x_1 och x_2 är rötter till en andragradsekvation om, och endast om, ekvationen kan skrivas som en produkt av två faktorer som båda är av första ordningen:

(x - x_1)(x - x_2).\,

Om vi utvecklar detta uttryck ser vi sambandet mellan andragradsekvationens koefficienter och dess lösningar:

x^2 + \underbrace{\{-(x_1+x_2)\}}_{=p}x + \underbrace{x_1 \cdot x_2}_{=q}.

Konjugatkomplettering med hjälp av variabelsubstitution[redigera | redigera wikitext]

Ett andragradsuttryck kan transformeras via variabelsubstitution, enligt följande:

 x^2 + p x + q = x(x+p)+q. \quad

Sätt sedan  x=t-\frac{p}{2}. \quad

Då får vi uttrycket  \left(t-\frac{p}{2}\right)\left(t+\frac{p}{2}\right)+q=t^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q. \quad

Metoden kan med fördel användas för att lösa andragradsekvationer eftersom variabelsubstitution har en mer utbredd användning än kvadratkomplettering. Exempel:

 x^2-4x+3=0\quad.

Omskrivning ger

 x(x-4)=-3. \quad

Substituera enligt

 x=t+2. \quad

Insatt i ovan omskrivna uttryck ger

 (t+2)(t-2)=-3 \quad

alltså

t^2-4=-3 \quad

dvs.

 t^2=1 \quad

och

 t=\pm1. \quad

Enligt substitutionen är nu

 x=\pm1+2. \quad

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ http://www2.math.su.se/~torbjorn/Undervisn/Andragradsekvationer.pdf sid. 1.