Andragradsekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en andragradsekvation med en obekant, en ekvation av formen

a x^2 + b x + c = 0, \quad a \ne 0

Talen a, b och c är ekvationens koefficienter och uttrycket a\neq 0 [1] betyder att a är skilt från noll. Prefixet andragrads innebär att 2 är den högsta potens med vilken det obekanta talet x förekommer i ekvationen.

Lösningar till andragradsekvationer[redigera | redigera wikitext]

A: Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa
B: Två skärningspunkter, två reella rötter
C: En skärningspunkt, en reell dubbelrot

Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln

y=x^2

och den räta linjen

y = k\,x + m

vars riktningskoefficient k är -b/a och som skär y-axeln i punkten (0, m), där m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:


\begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases}

Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.

En andragradsekvation har alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:

  • x^2 + 2x + 1 = 0
har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)
  • x^2+2x-1=0
har två reella lösningar
  • x^2 + 2x + 2 = 0
har två lösningar som är komplexa tal

Ekvationens diskriminant (se nedan) avgör vilket av de tre fallen som gäller.

Lösningsformeln[redigera | redigera wikitext]

Lösningsformeln, även kallad rotformeln, för andragradsekvationen

ax^2 + bx + c = 0

är

x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}}

Om a = 1, eller genom division med a, kan ekvationen skrivas som

x^2 + px + q = 0

och den så kallade pq-formeln ger lösningarna som

\ x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

Om koefficienterna är komplexa tal kan kvadratrotens argument vara komplext och då måste en metod för kvadratrotsberäkning av komplexa tal användas.

Metoder då koefficienterna är komplexa[redigera | redigera wikitext]

Evaluering av komplex rot[redigera | redigera wikitext]

Om det komplexa talet z skrivs i polär form som

z = r(\cos\varphi + \mathrm i\,\sin\varphi)

där r, talets absolutbelopp, är ett reellt tal, kan den komplexa kvadratroten av z beräknas enligt

\sqrt{z} = \sqrt{r} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + \mathrm i\,\sin \frac{\varphi}{2}\right)

där \varphi är argumentet till z. Hur argumentet beräknas, se komplexa tal, polär form.

Utan evaluering av komplex rot[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen kan lösas utan beräkning av en komplex rot. Utgå från ekvationen

z^2 + c\,z + d = 0

Efter kvadratkomplettering genom addition av \frac{c^2}{4} till båda leden och omflyttning av d:

\left(z + \frac{c}{2}\right)^2 = \cfrac{c^2}{4} - d\quad (1)

Sätt

x + i\,y = z + \frac{c}{2}\quad (2)

Högerledet i (1) är en konstant och kan skrivas a + i\,b. Ekvation (1) övergår då till

x^2 - y^2 + i\,2xy = a + i\,b

Vänster- och högerledens reella och imaginära delar skall överensstämma för likhet. Även beloppen skall vara lika. För realdelar respektive belopp gäller då

x^2 - y^2 = a
x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2}

Om ekvationerna adderas kan x beräknas och därefter y. z bestäms sedan med hjälp av ekvation (2).

Härledning av pq-formeln[redigera | redigera wikitext]

Formlerna för andragradsekvationens lösningar (rötter), kan härledas genom kvadratkomplettering. Först divideras med koefficienten för x2-termen, som enligt förutsättning är nollskild, vilket innebär övergång till "pq-formatet":

x^2+px+q

Kvadratkomplettering genom addition av \left(\frac{p}{2} \right)^2 = \frac{p^2}{4} till båda leden och överflyttning av q:

x^2 + p\, x + \frac{p^2}{4} = \frac{p^2}{4} - q

Genom användning av en kvadreringsregel på vänsterledet kan ekvationen skrivas

\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \frac{p^2}{4} - q\quad \Rightarrow
x + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{\frac{p^2}{4} - q}

vilket ger

x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q},\quad x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}

Reella och komplexa rötter[redigera | redigera wikitext]

Rötternas beroende av diskriminanten
D < 0: två komplexa rötter
D = 0: en dubbelrot; skärningspunkten med x-axeln
D > 0: två reella rötter; skärningspunkterna med x-axeln

Den typ (reella, komplexa) av rötter som andragradsekvationen

ax^2+bx+c=0

har, beror på ekvationens diskriminant, D, vilken är uttrycket under lösningsformelns kvadratrotstecken:

D = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}

Två lika och reella rötter (dubbelrot)[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen har en dubbelrot om, och endast om, diskriminanten är noll:

D = 0 \quad \Rightarrow\quad x = -\frac{b}{2a}

Villkoret D = 0 kan bara uppfyllas av andragradsekvationen

ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} = 0

Exempel:

x^2 + 2x + 1 = 0

har en dubbelrot, då ekvationens diskriminant är noll:

D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} - \frac{1}{1} = 0

Dubbelroten är

x_{1,2} = -1

Två olika och reella rötter[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen har två olika reella rötter om, och endast om, diskriminanten är ett positivt tal:

D > 0 \quad \Rightarrow\quad x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{D}

Exempel:

x^2 + 2x - 1 = 0

har två olika reella rötter, eftersom diskriminanten är ett positivt tal:

D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} + \frac{1}{1} = 2

De båda rötterna är

x_1 = -1 + \sqrt{2}
x_2 = -1 - \sqrt{2}

Två komplexa rötter[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen har två komplexa rötter i alla övriga fall. Om diskriminanten är ett negativt reellt tal är de dessutom varandras komplexkonjugat. Med hjälp av absolutbeloppsfunktionen kan rötterna då skrivas som

D < 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{2a} \pm i\sqrt{\vert D \vert}

Exempel:

x^2 + 2x + 3 = 0

har två komplexa rötter, då diskriminanten är negativ:

D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} - \frac{3}{1} = -2

De båda rötterna är det komplexa konjugatparet

x_1 = -1 + i \sqrt{2}
x_2 =  -1 - i \sqrt{2}

där i betecknar den imaginära enheten.

Samband mellan rötter och koefficienter[redigera | redigera wikitext]

Antag att ekvationen skrivs på formen

x^2+px+q=0

Talen x_1 och x_2 är rötter till en andragradsekvation om ekvationen kan skrivas som produkten av två faktorer av första ordningen:

(x - x_1)(x - x_2)

Om uttrycket utvecklas framgår att sambandet mellan andragradsekvationens koefficienter och dess lösningar är

x^2 + \underbrace{\{-(x_1+x_2)\}}_{=p}x + \underbrace{x_1 \cdot x_2}_{=q}

Talet -\,\frac{p}{2} är således lösningarnas aritmetiska medelvärde och talet \sqrt{q} är lösningarnas geometriska medelvärde, förutsatt att koefficienten q är ett positivt tal:

-\frac{p}{2} = \frac{x_1+x_2}{2}, \quad \sqrt{q} = \sqrt{x_1 \cdot x_2}

Konjugatkomplettering med hjälp av variabelsubstitution[redigera | redigera wikitext]

Ett andragradsuttryck kan transformeras via variabelsubstitution enligt

 x^2 + p x + q = x(x+p)+q
Sätt
 x=t-\frac{p}{2}
Då fås
\left(t-\frac{p}{2}\right)\left(t+\frac{p}{2}\right)+q=t^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q\quad (1)

Metoden kan med fördel användas för att lösa andragradsekvationer eftersom variabelsubstitution har en mer utbredd användning än kvadratkomplettering. Exempel:

 x^2-4x+3=0
Omskrivning ger
 x(x-4)=-3
Gör substitutionen
 x=t+2
Insatt i (1) ger detta
 (t+2)(t-2)=-3
och alltså är
t^2-4=-3
det vill säga
 t^2=1
och
 t=\pm1
Enligt substitutionen är då
 x=\pm1+2

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ http://www2.math.su.se/~torbjorn/Undervisn/Andragradsekvationer.pdf sid. 1