Andragradsfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En andragradsfunktion är en polynomfunktion av andra graden.

Andragradsfunktioner av en variabel[redigera | redigera wikitext]

f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}} \!
f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}} \!
f(x) = x^2 + bx |_{b=\{-1,-2,-3,-4\}} \!

Grafen till en andragradsfunktion

f(x) = ax^2 + bx + c

av en variabel är en parabel. Andragradskurva används ibland felaktigt som synonymt med grafen till en andragradsfunktion. Grafen till en andragradsfunktion är en andragradskurva, men en andragradskurva måste inte vara grafen till en andragradsfunktion av en variabel.

Om a > 0 har funktionen en minimipunkt och går mot \infty då x går mot \pm \infty
Om a < 0 har funktionen en maximipunkt och går mot -\infty då x går mot \pm \infty

Minimum/maximum-punkten kallas funktionsgrafens vertex och linjen parallell med y-axeln genom vertex, kallas grafens symmetrilinje.

Genom kvadratkomplettering kan andragradsfunktionen av en variabel skrivas som

f(x) = ax^2 + bx + c = a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right) =
 a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) =
a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Funktionens minimum eller maximum uppnås då kvadraten är noll, det vill säga då

(x,\,f(x)) = \left(-\frac{b}{2a},\,c - \frac{b^2}{4a}\right)

Dessutom visar ekvationen att graferna till alla andragradsfunktioner av en variabel är likformiga.

Andragradsfunktioner av flera variabler[redigera | redigera wikitext]

Andragradsfunktioner kan generellt skrivas på formen

f(x) = \sum a_i x_i^2 +\sum_{i>j}b_{ij}x_ix_j +\sum c_i x_i+d

där a_i, b_{ij}, c_i och d är konstanter och minst ett a_i är nollskilt.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.