Autokorrelation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Överst: sinus med brus; nederst: autokorrelation

Autokorrelationen för en stokastisk process beskriver korrelationen mellan processens olika tidpunkter.

Definition[redigera | redigera wikitext]

För en tidskontinuerlig stokastisk process X definieras autokorrelationsfunktionen r_X som:

r_X(t_1,t_2) = E[X(t_1)X(t_2)] \,

För en tidsdiskret stokastisk process X definieras autokorrelationsfunktionen r_X som:

r_X(n_1,n_2) = E[X(n_1)X(n_2)] \,

Om autokorrelationen endast beror på skillnaden mellan t_1 och t_2 eller n_1 och n_2 så skrivs autokorrelationsfunktionen som:

r_X(\tau)=E[X(t)X(t+\tau)] respektive r_X(k)=E[X(n)X(n+k)]

Om autokorrelationen är noll för alla \tau \ne 0 eller k \ne 0 kallas X för en vit process. Fourier-transformen av autokorrelationsfunktionen kallas för effektspektrum.

Estimering[redigera | redigera wikitext]

Givet en serie mätdata x_n,\ n \in [0,N-1] genererad av en svagt stationär stokastisk process X kan autokorrelationen estimeras på två sätt:

  1. icke väntevärdesriktigt: \hat{r}_X(k)=\begin{cases}
\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-k} x(n)x(n+k) & k \ge 0 \\
\hat{r}_X(-k) & k < 0
\end{cases}
  2. väntevärdesriktigt: \hat{r}_X(k)=\begin{cases}
\frac{1}{N - k} \sum_{n=0}^{N-k} x(n)x(n+k) & k \ge 0 \\
\hat{r}_X(-k) & k < 0
\end{cases}

I många sammanhang, till exempel för lösning av Yule–Walker-ekvationerna, föredras den icke väntevärdesriktiga varianten. Den väntevärdesriktiga kan då k närmar sig N anta orimligt stora värden.