Avståndsmängd

Avståndsmängd är ett begrepp inom matematik. Avståndsmängden för en delmängd till ett metriskt rum är mängden av alla avstånd mellan element i mängden.

Formell definition

Låt (X,d) vara ett metriskt rum och $A\subset X\,$ en mängd. Då är avståndsmängden för mängden A mängden

$D(A):=\{d(x,y):x,y\in A\}$,

dvs samlingen av alla avstånd i A.

Tillämpningar

En viktig tillämpning för avståndsmängden är diametern, diam, av en mängd som är supremum för avståndsmängden. Mer precist, diametern för en mängd $A\subset X\,$ är talet

$\mathrm {diam} (A):=\sup D(A).$

Egenskaper

Eftersom $d:X\times X\to \mathbb {R} _{+}$ är en metrik gäller för delmängder A och B i X, där B innehåller A:

• $D(A)\subset D(B)\,$
• $D(A)\subset [0,\mathrm {diam} (A)]\,$

Geometri

En intressant fråga är att givet att man vet någonting om mängdens geometri kan man veta det även för avståndsmängdens geometri? I $(\mathbb {R} ^{n},|\cdot |)$ finns några samband.

Mått

Steinhaus sats säger att om $A\subset \mathbb {R} ^{n}\,$ är Lebesguemätbar och den har ett positivt n-dimensionellt Lebesguemått ${\mathcal {L}}_{n}(A)>0\,$, så är 1-dimensionella Lebesguemåttet för avståndsmängden positiv, dvs

${\mathcal {L}}_{1}(D(A))>0.\,$

Dimension

Det också finns några satser för dimension av avståndsmängder. Låt $A\subset \mathbb {R} ^{n}\,$ vara en Borelmängd.

• Om Hausdorffdimensionen

$(n-1)/2\leq \dim _{\mathcal {H}}A\leq (n+1)/2$

så är

$\dim _{\mathcal {H}}D(A)>\dim _{\mathcal {H}}A-(n-1)/2.$

• Om Hausdorffdimensionen

$\dim _{\mathcal {H}}A>(n+1)/2$

så kan man också säga någonting om Lebesguemåttet:

${\mathcal {L}}_{1}(D(A))>0.\,$

Detta innebär

$\dim _{\mathcal {H}}D(A)=1.\,$

Referenser

• Mattila, P. Geometry of sets and measures in euclidean spaces: fractals and rectifiability, Cambridge University Press, 1995.