Baires kategorisats

Baires kategorisats är ett fundamentalt begrepp inom funktionalanalys som bland annat ger upphov till de stora teoremen inom funktionalanalys: Banach-Schauders sats, satsen om den slutna grafen och Banach-Steinhaus sats. Satsen är uppkallad efter René-Louis Baire.

Baires kategoriteorem

Varje fullständigt metriskt rum $X$ besitter följande två egenskaper:

• Om $\{O_n\}_{n=1}^\infty$ är en följd bestående av öppna och täta delmängder av $X$, så är deras snitt $\cap_{n=1}^\infty O_n\,$ också en tät delmängd av $X$.
• Mängden $X$ kan inte framställas som en uppräknelig union av ingenstans täta delmängder $\{M_n\}_{n=1}^\infty$ : $X \neq \bigcup_{n=1}^\infty M_n.$