Bas (topologi)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En bas B för en topologi T på en mängd X är en samling av element i T sådan att varje element i T är en union av ett godtyckligt antal element i B. Man säger att basen genererar topologin.

Definition och egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om X är en mängd så är en samling B av delmängder till X en bas för en topologi om

  1. Unionen av alla element i B är X.
  2. Om G_1, G_2 \in B, så ska det, för alla p \in G_1 \cap G_2, finnas G_3 \in B så att p \in G_3 och G_3 \subseteq G_1 \cap G_2.

Om en samling av delmängder inte uppfyller båda villkoren är det inte en bas för någon topologi på X (det är dock en underbas). Om en samling av delmängder är en bas definierar det en unik topologi på X. Denna topologi kallas toppologin genererad av B. Baser är vanliga vid konstruktionen av topologier, exempelvis är den metriska topologin vanligtvis genererad via en bas.

Två baser sägs vara ekvivalenta baser om de definierar samma topologi. Två baser B_1 och B_2 är ekvivalenta om och endast om det för varje p i varje G_1 \in B_1 finns ett G_2 \in B_2 så att p \in B_2 \subseteq B_1.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Mängden M = \{ N_\varepsilon (\bar{x}) : \varepsilon \geq 0, \bar{x} \in \mathbb{R}^2\} bildar en bas för \mathbb{R}^2. Här är

N_\varepsilon (\bar{x}) = \{ \bar{y} \in \mathbb{R}^2 : |\bar{x} - \bar{y}| \leq \varepsilon \}

där |\cdot | är den euklidiska normen.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Hocking, John G.; Gail S. Young (1961). Topology. Dover Pulications. ISBN 0-486-65676-4