Basbyte

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Vektor representerad i två olika baser

Basbyte är inom linjär algebra en transformation från en bas till en annan. Låt

\mathbf{e} = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,..., \mathbf{e}_n)

vara den gamla basen för Rn och

\mathbf{f} = (\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, ..., \mathbf{f}_n)

vara den nya basen för Rn och

\mathbf{f} = \mathbf{e}\, P

där P är en icke singulär matris vars kolonner utgörs av koordinaterna för de nya basvektorerna uttryckta i gamla basen.

För koordinatmatriserna för vektor x i baserna xe och xf gäller då att

\mathbf{x}_e = P\, \mathbf{x}_f
\mathbf{e} = \mathbf{f}\, P^{-1}

Om baserna är ortogonala baser är P en ortogonal matris vilket ger att

P^{-1} = P^{T}

Vid linjär avbildning av matrisen A från Rm till Rn, där alla vektorer är i standardbaser, gäller sambandet

A_{e;f} = Q^{-1}A\, P

där Q och P är de matriser vars kolonner utgörs av de nya baserna för Rm och Rn.