Baselproblemet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1735. Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion.

Problemet är att finna vad serien

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

konvergerar mot.

Eulers lösning[redigera | redigera wikitext]

För att visa detta samband utgick Euler från maclaurinutvecklingen av sinus:

\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots

För ekvationen \sin z = 0 blir en rot z = 0, och för övriga gäller enligt ovan:

1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \frac{z^6}{7!} + \cdots = 0
(1)

Med variabelbytet w = z^2 får vi följande ekvation:

1 - \frac{w}{3!} + \frac{w^2}{5!} - \frac{w^3}{7!} + \cdots = 0
(2)

De nollskilda lösningarna till \sin z = 0 är z = \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots vilket ger w_1 = \pi^2, w_2 = (2\pi)^2, w_3 = (3\pi)^2, \ldots som lösningar till ekvationen ovan.

Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om x_{1}, x_{1}, \ldots, x_{n} är rötter till ekvationen x^n + a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}x + a_n = 0 gäller:

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} = -\frac{a_{n-1}}{a_n}

Tillsammans med ekvation 2 får vi då (a_{n-1} = -\frac{1}{6} och a_n = 1):

\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{(2\pi)^2} + \frac{1}{(3\pi)^2} + \cdots = \frac{1}{6}
(3)

Genom att multiplicera detta med \pi^2 följer att

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Boris Sjöberg. Från Euklides till Hilbert. Åbo Akademis förlag, 2001. ISBN 952-9616-44-9.