Bernsteinpolynom

Ett Bernsteinpolynom är ett polynom och definieras som

$B^n_k(t) = {n \choose k} t^k (1-t)^{n-k}$

Parametern t hålls inom intervallet [0, 1] och polynomet kommer att ha ett maximum då t = k / n.

Bernsteinpolynom används exempelvis vid konstruktion av Bezierkurvor.

Exempel

Nedan är de första Bernsteinpolynomen:

$\begin{align} b_{0,0}(x) & = 1, \\ b_{0,1}(x) & = 1 - x, & b_{1,1}(x) & = x \\ b_{0,2}(x) & = (1 - x)^2, & b_{1,2}(x) & = 2x(1 - x), & b_{2,2}(x) & = x^2 \\ b_{0,3}(x) & = (1 - x)^3, & b_{1,3}(x) & = 3x(1 - x)^2, & b_{2,3}(x) & = 3x^2(1 - x), & b_{3,3}(x) & = x^3 \\ b_{0,4}(x) & = (1 - x)^4, & b_{1,4}(x) & = 4x(1 - x)^3, & b_{2,4}(x) & = 6x^2(1 - x)^2, & b_{3,4}(x) & = 4x^3(1 - x), & b_{4,4}(x) & = x^4 \end{align}$

I grafen nedan är $B^5_k(t)$ utritad för olika värden på k.

Egenskaper

En viktig egenskap hos Bernsteinpolynomen är att

$\sum^n_{k=0} B^n_k(t) = 1,$

för alla t, vilket gör att man kan addera punkter med hjälp av Bernsteinpolynom.

Bernsteinpolynomen har följande derivata:

$\frac{d}{dt}B^n_k(t) = n \left( B^{n-1}_{k-1}(t) - B^{n-1}_{k}(t) \right)$.

Referenser

• Råde, Lennart; Bertil Westergren (2004). Mathematics Handbook BETA. Studentlitteratur. Sid. 404. ISBN 91-44-03109-2