Bernsteinpolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett Bernsteinpolynom är ett polynom och definieras som

B^n_k(t) = {n \choose k} t^k (1-t)^{n-k}

Parametern t hålls inom intervallet [0, 1] och polynomet kommer att ha ett maximum då t = k / n.

Bernsteinpolynom används exempelvis vid konstruktion av Bezierkurvor.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Nedan är de första Bernsteinpolynomen:


\begin{align}
b_{0,0}(x) & = 1, \\
b_{0,1}(x) & = 1 - x, & b_{1,1}(x) & = x \\
b_{0,2}(x) & = (1 - x)^2, & b_{1,2}(x) & = 2x(1 - x), & b_{2,2}(x) & = x^2 \\
b_{0,3}(x) & = (1 - x)^3, & b_{1,3}(x) & = 3x(1 - x)^2, & b_{2,3}(x) & = 3x^2(1 - x), & b_{3,3}(x) & = x^3  \\
b_{0,4}(x) & = (1 - x)^4, & b_{1,4}(x) & = 4x(1 - x)^3, & b_{2,4}(x) & = 6x^2(1 - x)^2, & b_{3,4}(x) & = 4x^3(1 - x), & b_{4,4}(x) & = x^4
\end{align}

I grafen nedan är B^5_k(t) utritad för olika värden på k.

Bernsteinpolynom.png

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En viktig egenskap hos Bernsteinpolynomen är att

\sum^n_{k=0} B^n_k(t) = 1,

för alla t, vilket gör att man kan addera punkter med hjälp av Bernsteinpolynom.

Bernsteinpolynomen har följande derivata:

\frac{d}{dt}B^n_k(t) = n \left( B^{n-1}_{k-1}(t) - B^{n-1}_{k}(t) \right).

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Råde, Lennart; Bertil Westergren (2004). Mathematics Handbook BETA. Studentlitteratur. sid. 404. ISBN 91-44-03109-2