Betingad konvergens

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematiken sägs en serie \sum_{i=0}^\infty a_i vara betingat konvergent om den är konvergent, det vill säga gränsvärdet \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^n a_i existerar, men att serien inte är absolutkonvergent, det vill säga att \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^n |a_i | inte är konvergent.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Serien \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n} är betingat konvergent.

Mer allmänt, så säger Leibniz kriterium om betingad konvergens att om \,a_i är en strängt avtagande följd av positiva reella tal, så är serien \sum_{i=0}^\infty (-1)^n a_i konvergent. En sådan serie är emellertid i allmänhet inte absolutkonvergent.

Riemanns omordningssats[redigera | redigera wikitext]

En grundläggande sats i matematisk analys säger att gränsvärdet för en absolutkonvergent serie inte ändras om man ändrar ordningen på termerna i serien. För betingat konvergenta serier är situationen den motsatta:

Teorem: Låt \sum_{i=0}^\infty a_i vara betingat konvergent, och låt \,\alpha vara ett reellt tal, ∞ eller -∞. Då finns en permutation \,\sigma av de naturliga talen sådan att serien \sum_{i=0}^\infty a_{\sigma i} konvergerar mot \,\alpha.

En betingat konvergent serie kan alltså genom en omordning av termerna fås att konvergera mot vilket reellt tal som helst och t.o.m. divergera. Beviset för detta går i korthet ut på att delsummorna till en betingat konvergent serie, bestående av enbart positiva respektive negativa termer, går mot ∞ respektive -∞. Om man vill få summan att gå mot ett givet tal \,\alpha, som vi kan låta vara större än noll, ser man till att först ta med så många positiva termer att summan överskrider \,\alpha, därefter så många negativa att summan blir mindre än \,\alpha och så vidare. Eftersom termerna går mot noll kommer summan att gå mot \,\alpha. Om man vill att serien ska divergera (mot ∞) ser man till att de negativa termerna ligger så pass glest att delsummorna växer utan gräns. Motsvarande resonemang gäller för negativa \,\alpha och -∞.