Betingad konvergens

I matematiken sägs en serie $\sum_{i=0}^\infty a_i$ vara betingat konvergent om den är konvergent, det vill säga gränsvärdet $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^n a_i$ existerar, men att serien inte är absolutkonvergent, det vill säga att $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^n |a_i |$ inte är konvergent.

Exempel

Serien $\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ är betingat konvergent.

Mer allmänt, så säger Leibniz kriterium om betingad konvergens att om $\,a_i$ är en strängt avtagande följd av positiva reella tal, så är serien $\sum_{i=0}^\infty (-1)^n a_i$ konvergent. En sådan serie är emellertid i allmänhet inte absolutkonvergent.

Riemanns omordningssats

En grundläggande sats i matematisk analys säger att gränsvärdet för en absolutkonvergent serie inte ändras om man ändrar ordningen på termerna i serien. För betingat konvergenta serier är situationen den motsatta:

Teorem: Låt $\sum_{i=0}^\infty a_i$ vara betingat konvergent, och låt $\,\alpha$ vara ett reellt tal, ∞ eller -∞. Då finns en permutation $\,\sigma$ av de naturliga talen sådan att serien $\sum_{i=0}^\infty a_{\sigma i}$ konvergerar mot $\,\alpha$.

En betingat konvergent serie kan alltså genom en omordning av termerna fås att konvergera mot vilket reellt tal som helst och t.o.m. divergera. Beviset för detta går i korthet ut på att delsummorna till en betingat konvergent serie, bestående av enbart positiva respektive negativa termer, går mot ∞ respektive -∞. Om man vill få summan att gå mot ett givet tal $\,\alpha$, som vi kan låta vara större än noll, ser man till att först ta med så många positiva termer att summan överskrider $\,\alpha$, därefter så många negativa att summan blir mindre än $\,\alpha$ och så vidare. Eftersom termerna går mot noll kommer summan att gå mot $\,\alpha$. Om man vill att serien ska divergera (mot ∞) ser man till att de negativa termerna ligger så pass glest att delsummorna växer utan gräns. Motsvarande resonemang gäller för negativa $\,\alpha$ och -∞.