Bikvadratiskt filter

Figur 1. Filtrets överföringsfunktion med k-värdena 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 och 1.0 (uppifrån och ner)

Figur 2. Filtrets stegsvar.

Figur 3. Ett andra ordningens lågpassfilter enligt Sallen and Key

Ett bikvadratiskt filter har kvadratiska s-termer i både täljare och nämnare. Ett specialfall är lågpassfiltret som har polynomet:

$P(s)=(s^2/w_0^2)+(s/w_0)(1/Q)+1$

med öververföringsfunktionen

$H(s)=\frac{1}{P(s)}$

Om vi definierar dämpfaktorn

$k=\frac{1}{2Q}$

så får vi beloppsfunktionen

$|H(jw)|^2=\frac{1}{(1-(w/w_0)^2)^2+4k^2(w/w_0)^2}$

och

$Arg(H)=-tan^{-1}\frac {2k(w/w_0)}{1-(w/w_0)^2}$

Enligt figur 1 kan bikvadratiska filter ge upphov till en mer eller mindre uttalad puckel runt brytfrekvensen. Man kan visa att denna hamnar vid:

$w=w_0\sqrt{1-2k^2}$

och amplituden hos puckeln är:

$|H|_{peak}=\frac{1}{2k\sqrt{1-k^2}}$

Ett synkront filter, som alltså består av två RC-nät med samma tidskonstant (eller wo) som är kopplat direkt efter varandra, har det normaliserade polynomet:

$P(s)=s^2+2s+1 \$

och alltså ett Q-värde på 0.5 alternativt en dämpfaktor, k, på 1.0. I figur 1 ser man att ett sådant filter har en dålig branthet men är helt utan puckel.

Ett Butterworthfilter har sedan tidigare det normaliserade polynomet:

$P(s)=s^2+\sqrt{2}s+1$

och alltså ett Q-värde på 0.707 alternativt en dämpfaktor, k, på 0.707. I figur 1 ser man att ett sådant filter har en högre branthet och gränsar till att ha en puckel, vilket är Butterworth's kännetecken.

Tyvärr kan man inte direkt applicera denna teori på varken Chebyshevfilter eller Besselfilter då deras polynom är av annan typ. Dock kan man lite luddigt förstå att om man ökar Q-värdet får man instabiliteter i passbandet. Fast dessa är under kontroll vad gäller bikvadratiska filter, då det bara bildas en mer uttalad puckel, så analogin stämmer inte riktigt.

Man ska vara observant på att pucklar i frekvensplanet inte är de enda problemen man får med liten dämpfaktor. Stegsvaret i tidsplanet får nämligen ringningar då, enligt Figur 2.

Exempel

Figur 3 visar en tänkbar realisering av ett andra ordningens filter. Det är ett Sallen and Key-filter. Man kan visa att överföringsfunktionen blir:

$H(s)=\frac{Av}{R_1R_2C_1C_2s^2+s(C_2(R_1+R_2)+R_1C_1(1-Av))+1}$

där

$Av=1+R_b/R_a \$

Identifiering av koefficienter ger att

$w_0=\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}$

och

$Q=\frac{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}{R_1C_1(1-Av)+C_2(R_1+R_2)}$

Om C1=C2=C och R1=R2=R reduceras ovanstående överföringsfunktion till:

$H(s)=\frac{Av}{R^2C^2s^2+RCs(3-Av)+1}$

Identifiering av koefficienter ger återigen att:

$w_0=\frac{1}{RC}$

samt

$Q=\frac{1}{3-Av}$

Således kan man exempelvis sätta

$Av=3-\sqrt{2}$

om man vill ha ett Butterworthfilter. Tyvärr fungerar som sagt inte denna approach för Chebyshevfilter eller Besselfilter men däremot för godtyckligt bikvadratiskt filter däribland synkront filter och Butterwortfilter av andra ordningen. Fördelen med synkront filter är att det i detta fall innebär en passbandsförstärkning, Av, på ett.

Källor

• Millman Jacob, Grabel Arvin, Microelectronics, Second Edition, 1988, Singapore