Bilinjär form

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Bilinjär)
Hoppa till: navigering, sök

Inom linjär algebra sägs en avbildning i två variabler vara bilinjär om den är linjär i varje variabel var för sig.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En avbildning

f:V\times W\rightarrow U

där U, V, W är vektorrum över en kropp K, sägs vara bilinjär om

f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)\,
f(av,w)=af(v,w)\,
f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')\,
f(v,aw)=af(v,w)\,

för alla

v,v'\in V, w,w'\in W

och

a\in K.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

M(m,n)\times M(n,k) \rightarrow M(m,k)
R^3\times R^3 \rightarrow R^3.
  • Applikationsoperatorn som till ett element
V\times V^* \ni (v,v^*) \mapsto v^*(v) är bilinjär.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

De bilinjära avbildningarna utgör ett linjärt delrum till rummet av linjära avbildningar V\times W\rightarrow U

Tensorprodukter används för att klassificera bilinjära avbildningar; närmare bestämt, det finns en kanonisk avbildning

t:U\times V\rightarrow U\otimes V

så att för varje bilinjär avbildning

b:U\times V\rightarrow W

så finns en unik avbildning

e:U\otimes V\rightarrow W

så att b=t\circ e