Binomialsatsen

Binomialsatsen är en allmän sats inom den matematiska analysen. Satsen används för att utveckla potenser av binom.

Definition

Låt $x$ och $y$ vara två godtyckligt valda reella eller komplexa tal. För varje naturligt tal $n$ gäller för exponentieringen av binomet $x+y\,$:

$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} \, y^k$

där talet

${n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

är en binomialkoefficient (utläses n över k) och n! betecknar n-fakultet, vilken definieras som

$n! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n, \qquad 0!=1$

Historik

Sex rader av Pascals triangel

Binomialsatsen och Pascals triangel — som kan användas för att räkna ut koefficienterna — brukar tillskrivas Blaise Pascal som beskrev dem på 1600-talet. De var dock tidigare kända av den kinesiske matematikern Yang Hui på 1200-talet, den persiske matematikern Omar Khayyám på 1000-talet, samt den indiske matematikern Pingala på 200-talet f.Kr.

Tillämpningar av binomialsatsen

• Binomialsatsen gör det enkelt att skriva ned exponentieringen av binom, vilket annars skulle kunna vara tidsödande att utveckla för hand.

Detta kan illustreras med utvecklingen av $(1+x)^5$:

$(1+x)^5 = \binom{5}{0}x^0 + \binom{5}{1}x^1 + \binom{5}{2}x^2 + \binom{5}{3}x^3 + \binom{5}{4}x^4 + \binom{5}{5}x^5.$

Den sjätte raden i Pascals triangel innehåller alla binomialkoefficienter som förekommer i denna utveckling: 1, 5, 10, 10, 5 och 1 och utvecklingen kan därmed skrivas

$(1+x)^5 = 1 + 5\,x + 10 \, x^2 + 10 \, x^3 + 5 \, x^4 + x^5.$

• Om $M$ är en mängd bestående av $n$ stycken element, så anger binomialkoefficienten, $\binom{n}{k}$, antalet delmängder till $M$ bestående av $k$ stycken element. Med hjälp av binomialsatsen visar man att det går att bilda $2^n\,$ stycken delmängder till mängden $M$:

Det finns $\binom{n}{0}$ stycken delmängder bestående av noll element och $\binom{n}{1}$ stycken delmängder bestående av ett element och $\binom{n}{2}$ stycken delmängder bestående av två element och ... och $\binom{n}{n}$ stycken delmängder bestående av $n$ element. Totalt finns det

$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n}$

stycken delmängder till mängden $M$. Binomialsatsen ger — med $x = 1$ och $y = 1$ —

$2^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n}.$

• Med hjälp av binomialsatsen kan vi också visa att om man har en mängd bestående av $n$ stycken element, så är antalet delmängder med ett udda antal element lika med antalet delmängder med ett jämnt antal element.

Vi tillämpar bara binomialsatsen för de två talen $x = 1\,$ och $y = -1\,$:

$0 = (1 + (-1))^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\binom{n}{n}.$

Om heltalet $n$ är jämnt finns det

$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n}$

stycken delmängder med ett jämnt antal element, och

$\binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n-1}$

stycken delmängder med ett udda antal element. Motsvarande resultat gäller då $n$ är ett udda tal.

Newtons generaliserade binomialsats

Isaac Newton visade att man kan generalisera satsen till att gälla fallet då exponenten inte är ett heltal

$(x+y)^r = \sum_{k=0}^\infty {r\choose k} x^k y^{r-k}$

där $r$ kan vara ett godtyckligt komplext tal och $|x/y|<1$. Binomialkoefficienterna ges då av

${r \choose k} = \frac{1}{k!} \prod_{j=0}^{k-1} (r-j) = \frac{r(r-1)(r-2)\ldots (r-k+1)}{k!}$

När $k=0$ reduceras denna produkt till en tom produkt och är lika med 1.

Andra generaliseringar

Abel

Niels Henrik Abel generaliserade 1826 binomialsatsen till

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} x(x-kz)^{k-1}(y+kz)^{n-k}$

som gäller för $x\not=0$ och icke-negativa heltal n. Formeln ger den vanliga binomialsatsen när $z=0$.

Cauchy

Augustin Louis Cauchy gav 1843 en s.k. q-analog generalisering av binomialsatsen

$(x+y)(x+qy)\ldots(x+q^{n-1}y) = \sum_{k=0}^n {n\choose k}_{\!q} q^{k(k-1)/2}x^{n-k}y^k$

för icke-negativa heltal n. I ovanstående formel definieras q-binomialkoefficienterna (även kallade gaussiska polynom) av

${n\choose k}_{\!q} = \frac{(n)_q!}{(n-k)_q!\,(k)_q!}$

där $(n)_q$ och $(n)_q!$ är beteckningar för

$(n)_q = 1+q+\cdots+q^{n-1}\quad\text{och}\quad (n)_q! = (n)_q(n-1)_q\ldots(1)_q$

Bevis av binomialsatsen

Man kan bevisa binomialsatsen via matematisk induktion. Man börjar med att visa att binomialsatsen gäller för det naturliga talet $n=1$. Sedan antar man att binomialsatsen är sann för det naturliga talet $n = N$. Därefter visar man att detta innebär att binomialsatsen är sann för det efterföljande naturliga talet: $N+1$. Beviset avslutas sedan genom att åberopa induktionsaxiomet, som låter oss dra slutsatsen att binomialsatsen är sann för varje naturligt tal $n$.

Vi noterar att det räcker att bevisa satsen då talet $y = 1$, eftersom

$(x + y)^n = \left(y\left(\frac{x}{y} + 1\right)\right)^n = y^n\left(1 + \frac{x}{y}\right)^n.$

Låt $x$ vara ett godtyckligt valt (reellt eller komplext) tal. För det naturliga talet n = 1 gäller

$(1+x)^1 = 1 + x = \binom{1}{0} + \binom{1}{1}x = \sum_{k=0}^1 { 1 \choose k }x^k,$

vilket stämmer överens med binomialsatsen.

Antag nu att satsen är sann för det naturliga talet $n = N$:

$(1+x)^N = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_N x^N, \qquad c_k = \binom{N}{k}.$

Detta är det så kallade induktionsantagandet.

För det efterföljande naturliga talet $n = N + 1$ utvecklar vi potensen $(1+x)^{n}$ och grupperar koefficienterna:

$(1+x)^{N+1} = c_0 + (c_1 + c_0)x + \cdots + (c_N + c_{N-1})x^N + c_N x^{N+1}.$

Vi vill visa att en godtycklig koefficient i denna utveckling kan uttryckas som:

$c_k + c_{k-1} = \binom{N+1}{k}, \qquad k = 1,\dots,N.$

Induktionsantagandet talar om för oss att koefficienten

$c_k = \binom{N}{k}, \qquad k = 1, 2, \dots, N$

och följande beräkning uttrycker summan $\binom{N}{k} + \binom{N}{k-1}$ som binomialkoefficienten $\binom{N+1}{k}:$

Definitionerna av binomialkoefficient och fakultet låter oss uttrycka

$\binom{N}{k} + \binom{N}{k-1} = \frac{N!}{(k-1)!(N-k)!}\left(\frac{1}{k} + \frac{1}{N+1-k}\right) = \frac{(N+1)!}{k!((N+1)-k)!} = \binom{N+1}{k}.$

Följaktligen är koefficienterna $c_k$ sådana att

$c_k + c_{k-1} = \binom{N+1}{k},$

vilket innebär att vi kan uttrycka utvecklingen av potensen $(1+x)^{N+1}$ som:

$\binom{N+1}{0} + \binom{N+1}{1}x + \binom{N+1}{2}x^2 + \cdots + \binom{N+1}{N}x^N + \binom{N+1}{N+1}x^{N+1};$

här har vi använt oss av det faktum att

$\binom{N+1}{0} = 1 = \binom{N+1}{N+1}.$

Vi skriver utvecklingen av potensen $(1+x)^{N+1}$ kortfattat med hjälp av summa-symbolen:

$(1+x)^{N+1} = \sum_{k=0}^{N+1}\binom{N+1}{k}x^k,$

vilket är det resultat som binomialsatsen säger att vi skall få då vi tillämpar den för heltalet $N+1$.

Det sista steget i beviset av binomialsatsen är att åberopa induktionsaxiomet, vilket säger att om man kan visa att ett påstående — i detta fall utvecklingen av potensen $(1+x)^N\,$ — rörande de naturliga talen är sant för det naturliga talet $N$ och att det även är sant för talets efterföljare, $N+1$, så är påståendet sant för alla naturliga tal.

Eftersom talet $x$ var godyckligt valt har vi lyckats bevisa följande påstående :

För varje (reellt eller komplext) tal $x$ och för varje naturligt tal $n$, kan man utveckla potensen $(1+x)^n\,$ enligt:

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k.$

Vi lägger sista handen vid beviset genom att visa exponentieringen av det generella binomet $x+y\,$:

$(x+y)^n = y^n\left(1 + \frac{x}{y}\right)^n = y^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\frac{x}{y}\right)^k = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k \, y^{n-k}.$

Härmed är beviset av binomialsatsen fullbordat.

Se även

• Binomialfördelning
• Multinomialsatsen