Binomialsatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Binomialsatsen är en sats inom den matematiska analysen. Satsen används för att utveckla potenser av binom.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt x och y vara två godtyckligt valda reella eller komplexa tal. För varje naturligt tal n gäller för exponentieringen av binomet x+y\,:

 (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} \, y^k

där talet

{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

är en binomialkoefficient (utläses n över k) och n! betecknar n-fakultet, vilken definieras som

 n! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n, \qquad 0!=1

Historik[redigera | redigera wikitext]

Sex rader av Pascals triangel

Binomialsatsen och Pascals triangel — som kan användas för att bestämma koefficienterna — brukar tillskrivas Blaise Pascal som beskrev dem på 1600-talet. De var dock tidigare kända av den kinesiske matematikern Yang Hui på 1200-talet, den persiske matematikern Omar Khayyám på 1000-talet, samt den indiske matematikern Pingala på 200-talet f.Kr.

Tillämpningar av binomialsatsen[redigera | redigera wikitext]

  • Binomialsatsen gör det enkelt att skriva ned exponentieringen av binom, vilket annars skulle kunna vara tidsödande att utveckla för hand.
Detta kan illustreras med utvecklingen av (1+x)^5:
(1+x)^5 = \binom{5}{0}x^0 + \binom{5}{1}x^1 + \binom{5}{2}x^2 + \binom{5}{3}x^3 + \binom{5}{4}x^4 + \binom{5}{5}x^5.
Den sjätte raden i Pascals triangel innehåller alla binomialkoefficienter som förekommer i denna utveckling: 1, 5, 10, 10, 5 och 1 och utvecklingen kan därmed skrivas
(1+x)^5 = 1 + 5\,x + 10 \, x^2 + 10 \, x^3 + 5 \, x^4 + x^5.
  • Om M är en mängd bestående av n stycken element, så anger binomialkoefficienten, \binom{n}{k}, antalet delmängder till M bestående av k stycken element. Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att det kan bildas 2^n\, delmängder av mängden M:
Det finns \binom{n}{0} delmängder bestående av noll element och \binom{n}{1} delmängder bestående av ett element och \binom{n}{2} delmängder bestående av två element och så vidare. Totalt finns det
\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n}
delmängder till mängden M. Binomialsatsen ger — med x = 1 och y = 1
2^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n}.
  • Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att om en mängd består av n element, så är antalet delmängder med ett udda antal element lika med antalet delmängder med ett jämnt antal element.
Om binomialsatsen tillämpas för de två talen x = 1\, och y = -1\, ger detta
0 = (1 + (-1))^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\binom{n}{n}.
Om heltalet n är jämnt finns det
\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n}
stycken delmängder med ett jämnt antal element, och
\binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n-1}
delmängder med ett udda antal element. Motsvarande resultat gäller då n är ett udda tal.

Newtons generaliserade binomialsats[redigera | redigera wikitext]

Isaac Newton visade att satsen kan generaliseras till att gälla även då exponenten inte är ett heltal

(x+y)^r = \sum_{k=0}^\infty {r\choose k} x^k y^{r-k}

där r kan vara ett godtyckligt komplext tal och |x/y|<1. Binomialkoefficienterna ges då av

{r \choose k} = \frac{1}{k!} \prod_{j=0}^{k-1} (r-j) = \frac{r(r-1)(r-2)\ldots (r-k+1)}{k!}

När k=0 reduceras denna produkt till en tom produkt och är lika med 1.

Andra generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Abel[redigera | redigera wikitext]

Niels Henrik Abel generaliserade 1826 binomialsatsen till

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} x(x-kz)^{k-1}(y+kz)^{n-k}

som gäller för x\not=0 och icke-negativa heltal n. Formeln ger den vanliga binomialsatsen när z=0.

Cauchy[redigera | redigera wikitext]

Augustin Louis Cauchy gav 1843 en s.k. q-analog generalisering av binomialsatsen enligt

(x+y)(x+qy)\ldots(x+q^{n-1}y) = \sum_{k=0}^n {n\choose k}_{\!q} q^{k(k-1)/2}x^{n-k}y^k

för icke-negativa heltal n. I denna formel definieras q-binomialkoefficienterna (även kallade gaussiska polynom) av

{n\choose k}_{\!q} = \frac{(n)_q!}{(n-k)_q!\,(k)_q!}

där (n)_q och (n)_q! är beteckningar för

(n)_q  = 1+q+\cdots+q^{n-1}\quad\text{och}\quad (n)_q! = (n)_q(n-1)_q\ldots(1)_q

Bevis av binomialsatsen[redigera | redigera wikitext]

Det går att bevisa binomialsatsen med hjälp av matematisk induktion. Först visas att binomialsatsen gäller för det naturliga talet n=1. Sedan antas att binomialsatsen är sann för det naturliga talet n = N. Därefter visas att detta innebär att binomialsatsen är sann för det efterföljande naturliga talet: N+1. Beviset avslutas sedan genom att åberopa induktionsaxiomet, vilket leder till slutsatsen att binomialsatsen är sann för varje naturligt tal n.

Det räcker att bevisa satsen då talet y = 1, eftersom

(x + y)^n = \left(y\left(\frac{x}{y} + 1\right)\right)^n = y^n\left(1 + \frac{x}{y}\right)^n.

Låt x vara ett godtyckligt valt (reellt eller komplext) tal. För det naturliga talet n = 1 gäller

 (1+x)^1 = 1 + x = \binom{1}{0} + \binom{1}{1}x = \sum_{k=0}^1 { 1 \choose k }x^k,

vilket stämmer med binomialsatsen.

Antag att satsen är sann för det naturliga talet n = N:

(1+x)^N = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_N x^N, \qquad c_k = \binom{N}{k}

vilket är det så kallade induktionsantagandet.

För det efterföljande naturliga talet n = N + 1 utvecklas potensen (1+x)^{n} och koefficienterna grupperas:

(1+x)^{N+1} = c_0 + (c_1 + c_0)x + \cdots + (c_N + c_{N-1})x^N + c_N x^{N+1}.

Sedan visas att en godtycklig koefficient i denna utveckling kan skrivas som

c_k + c_{k-1} = \binom{N+1}{k}, \qquad k = 1,\dots,N.
Induktionsantagandet innebär att koefficienten
c_k = \binom{N}{k}, \qquad k = 1, 2, \dots, N
och följande beräkning, uttrycker summan \binom{N}{k} + \binom{N}{k-1} som binomialkoefficienten \binom{N+1}{k}:
Definitionerna av binomialkoefficient och fakultet ger
\binom{N}{k} + \binom{N}{k-1} = \frac{N!}{(k-1)!(N-k)!}\left(\frac{1}{k} + \frac{1}{N+1-k}\right) = \frac{(N+1)!}{k!((N+1)-k)!} = \binom{N+1}{k}.

Följaktligen är koefficienterna c_k sådana att

c_k + c_{k-1} = \binom{N+1}{k},

vilket innebär att utvecklingen av potensen (1+x)^{N+1} kan skrivas som

\binom{N+1}{0} + \binom{N+1}{1}x + \binom{N+1}{2}x^2 + \cdots + \binom{N+1}{N}x^N + \binom{N+1}{N+1}x^{N+1};
dar det faktum används att
\binom{N+1}{0} = 1 = \binom{N+1}{N+1}.

Utvecklingen av potensen (1+x)^{N+1} kan kortfattat skrivas med hjälp av summasymbolen som

(1+x)^{N+1} = \sum_{k=0}^{N+1}\binom{N+1}{k}x^k,

vilket enligt binomialsatsen är resultatet då den tillämpas för heltalet N+1.

Det sista steget i beviset av binomialsatsen är att åberopa induktionsaxiomet, vilket innebär att om det går att visa att ett påstående — i detta fall utvecklingen av potensen (1+x)^N\, — rörande de naturliga talen är sant för det naturliga talet N och att det även är sant för talets efterföljare, N+1, så är påståendet sant för alla naturliga tal.

Eftersom talet x var godtyckligt valt har följande påstående bevisats:

För varje (reellt eller komplext) tal x och för varje naturligt tal n, kan potensen (1+x)^n\, utvecklas enligt:
(1+x)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k.

Vi lägger sista handen vid beviset genom att visa exponentieringen av det generella binomet x+y\,:

(x+y)^n = y^n\left(1 + \frac{x}{y}\right)^n = y^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\frac{x}{y}\right)^k = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k \, y^{n-k}.

Härmed är beviset av binomialsatsen klart.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.