Birch–Swinnerton–Dyers förmodan

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Birch-Swinnerton-Dyers förmodan tillhör området aritmetisk algebraisk geometri. Som Newton var den första att påpeka skär en linje en elliptisk kurva i tre punkter. För detta gäller att om två av dessa punkter är rationella så är också den tredje rationell.

Låt E(Q) vara en elliptisk kurva, det vill säga en icke-singulär, projektiv kurva av genus 1, definierad över en talkropp K. Denna ekvation skrivs vanligtvis på formen y² = x³ + ax + b där a och b är heltal. Man kan visa att de rationella punkterna i K bildar en grupp under den additionsoperation som ges av att tre kolinjära punkter summerar till 0. Det vill säga:

 f(x,y) = 0, \quad x,y \in \mathbb{Q}.

Denna grupp består av en torsionskomponent samt r antal kopior av Z. r kallas rangen för E. Associerad till E finns också en meromorf funktion L(E,s), s komplex, kallad L-funktionen för E. Den definieras som en viss eulerprodukt där faktorerna beror på antalet punkter på E över de ändliga kropparna.

 L := \prod_{p \nmid 2 \delta} (1 - a_{p}p^{-s} + p^{1-2s})^{-1}

Denna eulerprodukt konvergerar för Re(s) > 3/2.

Birch-Swinnerton-Dyers förmodan lyder:

Taylorexpantionen för L(E,s) vid s=1 har formen

 L(E,s) = c(s - 1)^r + \text{termer av hogre ordning,} \qquad c \ne 0

Förmodan innebär alltså att gruppen innehåller ett ändligt antal rationella punkter om L-funktionen har ett nollställe i s=1 och ett oändligt om L-funktionen inte har det.[1]

Historia[redigera | redigera wikitext]

I början av 1960-talet undersökte Peter Swinnerton-Dyer antalet punkter modulo p (betecknas med Np) för ett stort ant6al primtal p för ett stort antal elliptiska kurvor vars rang var känt. Från dessa numeriska resultat förmodade Bryan John Birch och Swinnerton-Dyer att Np för kurvan E med rang r satisfierar

Grafen av \prod_{p\leq X} \frac{N_p}{p} för kurvan y2 = x3 − 5xX går över de första 100000 primtalen. X-axeln är log(log(X)) och Y-axeln är i logaritmisk skala så att förmodan säger att data borde bilda en linje med en lutning samma som kurvans rang, vilket i detta fall är 1. Som jämförelse finns en röd linje med lutning 1 i grafen.
\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty

där C är en konstant.

Det här ledde dem till en allmän förmodan om kurvans L-funktion L(Es) vid s = 1, nämligen att den har ett nollställe av ordning r vid 1.

Förmodan utvidgades senare till att omfatta en explicit formel för den första Taylorkoefficienten av L-funktionen vid s = 1. Denna starkare förmodan lyder

\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{Tor}})^2}

där kvantiteterna i högra membrum är invarianter av kurvan, undersökta av Cassels, Tate, Shafarevich och andra: dessa inkluderar ordningen av torsiongruppen, ordningen av Tate–Shafarevichgruppen och den kanoniska höjden av en bas av rationella punkter (Wiles 2006).

Konsekvenser[redigera | redigera wikitext]

Såsom Riemannhypotesen har Birch-Swinnerton-Dyers förmodan massvis med konsekvenser.

  • Låt n vara ett udda kvadratfritt tal. Om man antar Birch-Swinnerton-Dyers förmodan är n ett kongruent tal om och bara om antalet heltalslösningar (x, y, z) av ekvationen 2x^2 + y^2 + 8z^2 = n är två gånger antalet heltalslösningar av ekvationen 2x^2 + y^2 + 32z^2 = n. Den här satsen av Tunnell (1983) är relaterad till det att n är ett kongruent tal om och bara elliptiska kurvan y^2 = x^3 - n^2x har en rationell punkt av oändlig ordning (härmed, om man antar Birch-Swinnerton-Dyers förmodan, har dess L-funktion ett nollställe vid 1).

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ CMI, The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture: http://www.claymath.org/millennium/Birch_and_Swinnerton-Dyer_Conjecture/