Birch-Swinnerton-Dyers förmodan

Birch-Swinnerton-Dyers förmodan tillhör området aritmetisk algebraisk geometri. Som Newton var den första att påpeka skär en linje en elliptisk kurva i tre punkter. För detta gäller att om två av dessa punkter är rationella så är också den tredje rationell.

Låt E(Q) vara en elliptisk kurva, det vill säga en icke-singulär, projektiv kurva av genus 1, definierad över en talkropp K. Denna ekvation skrivs vanligtvis på formen y² = x³ + ax + b där a och b är heltal. Man kan visa att de rationella punkterna i K bildar en grupp under den additionsoperation som ges av att tre kolinjära punkter summerar till 0. Det vill säga:

$f(x,y) = 0, \quad x,y \in \mathbb{Q}$

Denna grupp består av en torsionskomponent samt r antal kopior av Z. r kallas rangen för E. Associerad till E finns också en meromorf funktion L(E,s), s komplex, kallad L-funktionen för E. Den definieras som en viss eulerprodukt där faktorerna beror på antalet punkter på E över de ändliga kropparna.

$L := \prod_{p \nmid 2 \delta} (1 - a_{p}p^{-s} + p^{1-2s})^{-1}$

För denna eulerprodukt konvergerar Re(s) > 3/2

Birch-Swinnerton-Dyers förmodan lyder:

Taylorexpantionen för L(E,s) vid s=1 har formen

$L(E,s) = c(s - 1)^r + \text{termer av hogre ordning,} \qquad c \ne 0$

Förmodan innebär alltså att gruppen innehåller ett ändligt antal rationella punkter om L-funktionen har ett nollställe i s=1 och ett oändligt om L-funktionen inte har det.