Blockmatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en blockmatris en uppdelning av en matris i mindre matriser. Den ursprungliga matrisen kan då skrivas som en samling mindre matriser. Uppdelningen av en matris i block måste vara konsistent, man kan se det som att man inför vertikala och horisontella linjer som går genom hela matrisen.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Matrisen:

A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
4 & 4 & 5 & 5 \\
4 & 4 & 5 & 5
\end{pmatrix}

Kan delas upp i fyra 2x2-matriser:

 P_{11} = 
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
, P_{12} =
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
2 & 2
\end{pmatrix}
, P_{21} =
\begin{pmatrix}
4 & 4 \\
4 & 4
\end{pmatrix}
, P_{22} =
\begin{pmatrix}
5 & 5 \\
5 & 5
\end{pmatrix}

Så att  A då kan skrivas:

A =
\begin{pmatrix}
P_{11} & P_{12} \\
P_{21} & P_{22}
\end{pmatrix}

Blockdiagonala matriser[redigera | redigera wikitext]

En blockdiagonal matris är en kvadratisk matris som har kvadratiska matriser i diagonalen, men alla andra element är noll. Om  A är blockdiagonal kan den skrivas på formen:

A = 
\begin{pmatrix}
A_1    & 0      & \cdots & 0      \\
0      & A_2    & \cdots & 0      \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0      & 0      & 0      & A_n
\end{pmatrix}

Där  A_k är en kvadratisk matris. Matrisen  A kan då skrivas som en direkt summa,  A = A_1 \oplus A_2 \oplus ... \oplus A_n . Det finns även samband för determinanten och spåret:

 \det{A} = \det{A_1} \det{A_2} ... \det{A_n} \,
 \operatorname{tr}{A} = \operatorname{tr}{A_1} + \operatorname{tr}{A_2} + ... + \operatorname{tr}{A_n}

Blockmatrismultiplikation[redigera | redigera wikitext]

Given två blockmatriser matriserna  A och  B där  A har format  m \times p och  B har format  p \times n , med blockindelning:

  A =
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1s} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2s} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{q1} & A_{q2} & \cdots & A_{qs}
\end{pmatrix}
  B =
\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r} \\
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr}
\end{pmatrix}

Dvs,  A har  s kolonnupdelningar och  q raduppdelningar.  B har  r kolonnupdelningar och  s raduppdelningar.

Man kan då räkna ut matrisprodukten  C = AB med format  m \times n , med  q raduppdelningar och  r kolonnupdelningar med:

C_{xy} = \sum_{k = 1}^s A_{xk} B_{ky}