Blockmatris

Inom matematiken är en blockmatris en uppdelning av en matris i mindre matriser. Den ursprungliga matrisen kan då skrivas som en samling mindre matriser. Uppdelningen av en matris i block måste vara konsistent, man kan se det som att man inför vertikala och horisontella linjer som går genom hela matrisen.

Exempel

Matrisen:

$A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 5 \\ 4 & 4 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

Kan delas upp i fyra 2x2-matriser:

$P_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , P_{12} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} , P_{21} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} , P_{22} = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$

Så att $A$ då kan skrivas:

$A = \begin{pmatrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{21} & P_{22} \end{pmatrix}$

Blockdiagonala matriser

En blockdiagonal matris är en kvadratisk matris som har kvadratiska matriser i diagonalen, men alla andra element är noll. Om $A$ är blockdiagonal kan den skrivas på formen:

$A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & A_n \end{pmatrix}$

Där $A_k$ är en kvadratisk matris. Matrisen $A$ kan då skrivas som en direkt summa, $A = A_1 \oplus A_2 \oplus ... \oplus A_n$. Det finns även samband för determinanten och spåret:

$\det{A} = \det{A_1} \det{A_2} ... \det{A_n} \,$

$\operatorname{tr}{A} = \operatorname{tr}{A_1} + \operatorname{tr}{A_2} + ... + \operatorname{tr}{A_n}$

Blockmatrismultiplikation

Given två blockmatriser matriserna $A$ och $B$ där $A$ har format $m \times p$ och $B$ har format $p \times n$, med blockindelning:

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1s} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{q1} & A_{q2} & \cdots & A_{qs} \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr} \end{pmatrix}$

Dvs, $A$ har $s$ kolonnupdelningar och $q$ raduppdelningar. $B$ har $r$ kolonnupdelningar och $s$ raduppdelningar.

Man kan då räkna ut matrisprodukten $C = AB$ med format $m \times n$, med $q$ raduppdelningar och $r$ kolonnupdelningar med:

$C_{xy} = \sum_{k = 1}^s A_{xk} B_{ky}$