Borel-Cantellis lemma

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Borel-Cantellis lemma är inom matematiken, specifikt inom sannolikhetsteorin och måtteori, ett antal resultat med vilka man kan undersöka om en följd av stokastiska variabler konvergerar eller ej.

Borel-Cantellis lemma[redigera | redigera wikitext]

Om  A_1, A_2, A_3, \ldots är en följd av alltmer ovanliga händelser, kommer endast ändligt många av dem att inträffa:

\sum_{ n = 1 }^\infty P( A_n ) < \infty ~ \Rightarrow ~ P\left( \limsup_{n\to\infty} A_n \right) = 0.

Beteckningen P(A_n) står för sannolikheten att händelsen A_n skall inträffa.

Om  A_1, A_2, A_3, \ldots är en följd av vanligt förekommande oberoende händelser, så kommer oändligt många av dem att inträffa:

\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \infty ~ \Rightarrow ~ P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)= 1.

En mer allmän form av det första av Borel-Cantellis lemma gäller godtyckliga måttrum: Om (X, \mathcal F, \mu) är ett måttrum och  A_1, A_2, A_3, \ldots är en följd av element i sigma-algebran \mathcal F så gäller

\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) < \infty ~ \Rightarrow ~ \mu \left( \limsup_{n \to \infty} A_n \right) = 0;

måttet \mu behöver inte vara ändligt.

Bevis för det första av Borel-Cantellis lemmata[redigera | redigera wikitext]

Scenariot att oändligt många av händelserna  A_1, A_2, A_3, \ldots skall inträffa kan skrivas

 \limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \underbrace{ \left( \bigcup_{m=n}^\infty A_m \right)}_{ = B_n } = \bigcap_{n=1}^\infty B_n.

Händelserna B_1, B_2, B_3 ,\ldots är mindre och mindre delar av varandra:

B_1 \supseteq B_2 \supseteq B_3 \supseteq \cdots;

detta innebär dels att snittet av de N stycken första händelserna är samma sak som händelsen B_N:

\bigcap_{n=1}^N B_n = B_N

och dels att sannolikheterna för att händelserna skall inträffa blir mindre och mindre:

P(B_1) \geq P(B_2) \geq P(B_3) \geq \cdots.

Villkoret

 \sum_{n=1}^\infty P(A_n) < \infty

att summan av sannolikheterna för händelserna A_1, A_2, A_3 ,\ldots, är ändlig innebär att sannolikheterna P(B_N) blir hur små som helst ju större talet N är:

\lim_{N\to \infty} P(B_N) = 0.

Det faktum att ett sannolikhetsmått är ett ändligt mått låter oss dra slutsatsen att

 P(\lim_{N \to \infty} B_N) = \lim_{N \to \infty} P(B_N).

Eftersom händelserna B_1, B_2, \ldots är delar av varandra vet vi att

 \bigcap_{n=1}^\infty B_n = \lim_{N \to \infty} B_N.

Därför kan vi säga att

 P(\limsup_{n\to \infty} A_n) = P(\lim_{N \to \infty} B_N) = \lim_{N \to \infty} P(B_N) = 0.

Koppling till konvergens av stokastiska variabler[redigera | redigera wikitext]

En följd av stokastiska variabler \{X_n\} konvergerar mot den stokastiska variabeln X om 'avståndet' \vert X_n - X \vert avtar mot noll då index n växer. (Det finns många olika tolkningar av begreppet avstånd mellan stokastiska variabler.)

Låt A_n vara händelsen att 'avståndet' mellan X_n och X är större än talet 1/n:

A_n = \left\{\omega \in \Omega : \vert X_n(\omega) - X(\omega) \vert \geq 1/n\right\}.

Om dessa händelser successivt blir så ovanliga att deras sannolikheter avtar, så att \sum_{n=1}^\infty P(A_n) < \infty, så säger Borel-Cantellis lemma att endast ändligt många av dem kommer att inträffa; Detta innebär att det finns ett ändligt (stokastiskt) index N sådant att:

\vert X_n - X \vert < 1/n, \quad n > N.

Det går därför att få 'avståndet' mellan X_n och X hur litet som helst, så länge som man väljer index n tillräckligt stort; Med andra ord konvergerar följden \{X_n\} mot X.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.