Brocards problem

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Brocards problem går ut på att hitta naturliga tal n och m sådana att

n!+1=m2,

det vill säga att n-fakultet är ett mindre än en heltalskvadrat. Problemet formulerades av Henri Brocard i två artiklar från 1876 och 1885, och av Srinivasa Ramanujan 1913 (oberoende av Brocard).

Brown-tal[redigera | redigera wikitext]

Talpar (n,m) som löser Brocards problem kallas Brown-tal (efter Kevin S. Brown)[1]. Det finns endast tre kända par av Brown-tal:

(4,5), (5,11) och (7,71).

Paul Erdős förmodade att det inte finns fler lösningar. Datorberäkningar har visat att det inte finns fler lösningar för n upp till en miljard (Berndt och Galway, 2000).

Varianter av problemet[redigera | redigera wikitext]

Dabrowski har bevisat att om abc-förmodan är sann, har ekvationen

n!+A=m2

endast ändligt många lösningar för ett givet heltal A – speciellt att det endast finns ändligt många par av Brown-tal.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley, 1995, sid. 170.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Brocard's problem, 22 februari 2009.
  • Brocard, H. (1876), ”Question 166”, Nouv. Corres. Math. 2: 287 .
  • Brocard, H. (1885), ”Question 1532”, Nouv. Ann. Math. 4: 391 .
  • Dabrowski, A. (1996), ”On the Diophantine Equation x! + A = y2”, Nieuw Arch. Wisk. 14: 321–324 .
  • Guy, R. K. (1994), ”D25: Equations Involving Factorial”, Unsolved Problems in Number Theory (2nd), New York: Springer-Verlag, s. 193–194 .

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]