Brouwers fixpunktssats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematik är Brouwers fixpunktssats en sats gällande fixpunkter uppkallad efter matematikern L. E. J. Brouwer.

Satsen[redigera | redigera wikitext]

Brouwers fixpunktssats säger att varje kontinuerlig funktion från det stängda enhetsklotet  D^n för heltal n (enhetsklotet i  \mathbb{R}^n ) till sig själv har minst en fixpunkt. Dvs, för funktioner  f:D^n \to D^n existerar ett  x_0 sådant att  f(x_0) = x_0 .

Egenskaperna som är inblandade i satsen (kontinuitet, fixpunkt) är invarianta under homeomorfier. Därför behöver inte definitionsmängden vara just enhetsklotet, utan något som är homoemorft med enhetsklotet går lika bra.

Om definitionsmängden för funktionen är ett öppet klot är satsen falsk, definitionsmängden måste alltså vara ett stängt klot.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Satsen var en av de tidiga resultaten för algebraisk topologi och är grunden för mer generella fixpunktssatser som är viktiga inom funktionalanalysen. Satsen bevisades för  n = 3 av Piers Bohl 1904, det allmänna fallet visades av Jacques Hadamard 1910 och av Brouwer 1912.