Carlemans olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Carlemans olikhet är en matematisk olikhet namngiven efter Torsten Carleman, som var den förste att publicera olikheten 1923[1].

Låt  a_1, a_2, ... vara en följd av icke-negativa reella tal. Då gäller det att

\sum_{n=1}^\infty (a_1 ... a_n)^\frac{1}{n} \leq e \sum_{n=1}^\infty a_n.

Konstanten  e i olikheten är den bästa möjliga; för mindre konstanter gäller inte olikheten. Om  a_1, a_2 ... är positiva istället för icke-negativa är olikheten strikt.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Utgå från Hardys olikhet:

\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{k} \sum_{k=1}^n a_k \right)^p < \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \sum_{n=1}^\infty a_n^p

ta den inre summan i vänsterledet, ersätt  a_k med  a_k^\frac{1}{p} och skriv om på följande sätt:

 \left( \frac{1}{k} \sum_{k=1}^n a_k^\frac{1}{p} \right)^p = 
\exp \frac{1}{p} \left(\ln \sum_{k = 1}^n a_k^\frac{1}{p} - \ln \sum_{k=1}^n a_k^0\right)

Låt  p \to \infty och skriv om exponenten som en derivata av den nya variabeln x, som här är noll:

 \lim_{p \to \infty} \exp \frac{1}{p} \left(\ln \sum_{k = 1}^n a_k^\frac{1}{p} - \ln \sum_{k=1}^n a_k^0\right) = 
\exp \left( \left[ \frac{d}{dx} ( \ln \sum_{k=1}^n a_k^x ) \right]_{x=0} \right)=
\exp \left( \left[ \frac{\sum_{k=1}^n a_k^x \ln a_k}{\sum_{k=1}^n a_k^x} \right]_{x=0} \right)

Applicera nu  x = 0 då man får:

\exp \left( \left[ \frac{\sum_{k=1}^n a_k^x \ln a_k}{\sum_{k=1}^n a_k^x} \right]_{x=0} \right)=
\exp\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln a_k \right) = \left( \prod_{k=1}^n a_k \right)^\frac{1}{n}.

Betrakta nu högerledet i Hardys olikhet och utför samma steg, ersätt  a_k \, med  a_k^\frac{1}{p} och låt p gå mot oändligheten

 \lim_{p \to \infty}\left( \frac{p}{p-1} \right)^p \sum_{n=1}^\infty a_n = e \sum_{n=1}^\infty a_n

detta ger oss den icke-strikta varianten av Carlemans olikhet:

 \sum_{n=1}^\infty \left( \prod_{k=1}^n a_k \right)^\frac{1}{n} \leq e \sum_{n=1}^\infty a_n

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ T. Carleman, Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Maria Johansson, Lars-Erik Persson, Anna Wedestig (2003). ”Carleman's inequality - history, proofs and som new generalizations”. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4 (3). 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.