Carlemans olikhet

Carlemans olikhet är en matematisk olikhet namngiven efter Torsten Carleman, som var den förste att publicera olikheten 1923.

Låt $a_1, a_2, ...$ vara en följd av icke-negativa reella tal. Då gäller det att

$\sum_{n=1}^\infty (a_1 ... a_n)^\frac{1}{n} \leq e \sum_{n=1}^\infty a_n.$

Konstanten $e$ i olikheten är den bästa möjliga; för mindre konstanter gäller inte olikheten. Om $a_1, a_2 ...$ är positiva istället för icke-negativa är olikheten strikt.

Bevis

Utgå från Hardys olikhet:

$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{k} \sum_{k=1}^n a_k \right)^p < \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \sum_{n=1}^\infty a_n^p$

ta den inre summan i vänsterledet, ersätt $a_k$ med $a_k^\frac{1}{p}$ och skriv om på följande sätt:

$\left( \frac{1}{k} \sum_{k=1}^n a_k^\frac{1}{p} \right)^p = \exp \frac{1}{p} \left(\ln \sum_{k = 1}^n a_k^\frac{1}{p} - \ln \sum_{k=1}^n a_k^0\right)$

Låt $p \to \infty$ och skriv om exponenten som en derivata av den nya variabeln x, som här är noll:

$\lim_{p \to \infty} \exp \frac{1}{p} \left(\ln \sum_{k = 1}^n a_k^\frac{1}{p} - \ln \sum_{k=1}^n a_k^0\right) = \exp \left( \left[ \frac{d}{dx} ( \ln \sum_{k=1}^n a_k^x ) \right]_{x=0} \right)= \exp \left( \left[ \frac{\sum_{k=1}^n a_k^x \ln a_k}{\sum_{k=1}^n a_k^x} \right]_{x=0} \right)$

Applicera nu $x = 0$ då man får:

$\exp \left( \left[ \frac{\sum_{k=1}^n a_k^x \ln a_k}{\sum_{k=1}^n a_k^x} \right]_{x=0} \right)= \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln a_k \right) = \left( \prod_{k=1}^n a_k \right)^\frac{1}{n}.$

Betrakta nu högerledet i Hardys olikhet och utför samma steg, ersätt $a_k \,$ med $a_k^\frac{1}{p}$ och låt p gå mot oändligheten

$\lim_{p \to \infty}\left( \frac{p}{p-1} \right)^p \sum_{n=1}^\infty a_n = e \sum_{n=1}^\infty a_n$

detta ger oss den icke-strikta varianten av Carlemans olikhet:

$\sum_{n=1}^\infty \left( \prod_{k=1}^n a_k \right)^\frac{1}{n} \leq e \sum_{n=1}^\infty a_n$

Referenser

• Maria Johansson, Lars-Erik Persson, Anna Wedestig (2003). ”Carleman's inequality - history, proofs and som new generalizations”. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4 (3).