Cartans kriterium

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Cartans kriterium kriterium för en Liealgebra i karakteristik 0 att vara lösbar, av vilket ett liknande kriterium för en Liealgebra att vara halvenkel. Den baserar sig på Killingformer, symmetriska bilinjära former över \mathfrak{g} definierade enligt formeln

K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v)),

där tr betecknar spåret av en linjär operator. Kriteriet introducerades av Élie Cartan (1894).

Cartans kriterium för lösbarhet[redigera | redigera wikitext]

Cartans kriterium för lösbarhet lyder:

En Lie-delalgebra \mathfrak{g} av endomorfier av ett ändligtdimensionellt vektorrum över en kropp av karakteristik noll är lösbar om och bara om Tr(ab)=0a\in\mathfrak{g},b\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}].

Att Tr(ab)=0 i det lösbara fallet följer moedelbart ur Lie–Kolchins sats som säger att lösbara Liealgebror i karakteristik 0 kan skrivas i övre triangulär form.

Genom att använda Cartans kriterium till den adjungta representationen får man:

En ändligtdimensionell Liealgebra \mathfrak{g} över en kropp av karakteristik noll är lösbar om och bara om K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0 (där K är Killingformen).

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Cartan's criterion, 5 juni 2014.