Cauchys integralformel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cauchys integralformel, uppkallad efter Augustin Louis Cauchy, är en viktig matematisk formel inom komplex analys. Beviset för formeln, Cauchys integralsats, formuleras vanligtvis som följer: Låt f vara en analytisk funktion i det slutna område som definieras av en sluten kurva C som genomlöps i positiv riktning. För varje inre punkt z₀ i denna mängd gäller då att:

f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_C\frac{f(z)dz}{z-z_0}

Detta resultat är Cauchys integralsats.

Beviset av satsen bygger på att värdet av integralen är invariant vid en deformation av integrationskonturen så länge integranden är analytisk i det slutna området mellan den ursprungliga och den deformerade konturen. Genom att utnyttja detta faktum för att kontinuerligt deformera C till en infinitesimal cirkel runt z₀ kan man sedan genom ett gränsvärdesargument visa satsen ovan.

Satsen kan generaliseras till:

f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz

där vänsterledet betecknar n:te derivatan av f. Denna generalisering kan användas till att uttrycka den n:te termen i en serieutveckling i form av en integral.