Cauchys integralsats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cauchys integralsats i komplex analys är ett viktigt verktyg för beräkningar av kurvintegraler i det komplexa talplanet. Satsen fastslår att kurvintegralerna över två kurvor med samma ändpunkter för en funktion som är analytisk innanför kurvorna är desamma.

Integralsatsen för en sluten kurva lyder: låt U ⊂ C och låt f : U → C vara en analytisk funktion definierad på det enkelt sammanhängande området U. Då gäller för kurvan C ⊂ U med samma start- och slutpunkt:

\oint_{C} f(z)\, dz = 0

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Om man antar att partiella derivatorna av en analytisk funktion är kontinuerliga, kan Cauchys integralsats bevisas som en direkt konsekvens av Greens sats tillsammans med att reella och imaginära delarna av f=u+iv måste satisfiera Cauchy–Riemanns ekvationer i regionen begränsad av \gamma, och vidare i öppna omgivningen U av denna region. Cauchy gav detta bevis, men Goursat gav senare ett bevis som inte krävde vektorkalkyl eller kontinuiteten av partiella derivator.

Vi kan dela integranden f och differentialen dz i deras reella och imaginära delar:

 \displaystyle f=u+iv
 \displaystyle dz=dx+i\,dy.

I detta fall har vi

\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) +i\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy).

Enligt Greens sats kan vi ersätta integralerna runt den slutna konturen \gamma med en areaintegral över domänen D som omslutes av \gamma på följande vis:

\oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) =  \iint_D \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy
\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy) =  \iint_D \left(  \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy.

Men eftersom u och v är den reella och imaginära delen av en analytisk funktion i domänen D måste de satisfiera Cauchy–Riemanns ekvationer i den:

{ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y }
{ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x }.

Härmed är båda integrander (och alltså även integralerna) noll:

\iint_D \left(  -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy = \iint_D \left(  \frac{\partial u}{\partial y} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy =0
\iint_D \left(  \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy = \iint_D \left(  \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial x} \right ) \, dx \, dy = 0.

Detta ger resultatet

\oint_\gamma f(z)\,dz =0.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Cauchy's integral theorem, 18 januari 2015.