Cayleys sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp G är isomorf med någon permutationsgrupp. En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppenG, betecknad Sym(G), som är isomorf med G.

Tag ett a i G och definiera en avbildning  f_a: G \to G som  f_a(g) = ag för alla g i G. Bilda  H = \{f_a: a \in G \} , som är en delmängd till Sym(G).H är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:

 f_af_b(g) = f_a(f_b(g)) = f_a(bg) = abg = f_{ab}(g)

dvs,  f_af_b = f_{ab} . Det neturala elementet  \varepsilon i Sym(G) ligger i H eftersom  \varepsilon = f_{1_G} . Inversen till  f_a ges av  f_{a^{-1}} . Detta ger att H är en grupp, specifikt en delgrupp till Sym(G).

H är i själva verket isomorf med G, ty  \phi: G \to H definierad som  \phi(a) = f_a är en isomorfi:

\phi är injektiv, ty om  \phi(a) = \phi(b) är  f_a = f_b som ger  f_a(1_G) = f_b(1_G) \Leftrightarrow a = b .
Att  \phi är surjektiv följer ur definitionen.
Att  \phi är en grupphomomorfi, dvs att  \phi(a)\phi(b) = \phi(ab) följer ur  f_af_b = f_{ab} .

De tre egenskaperna ovan ger att  \phi är en isomorfi. Alltså är gruppen G isomorf med permutationsgruppen H, vilket bevisar Cayleys sats.

Generalisering[redigera | redigera wikitext]

Cayleys sats kan generaliseras. Om H är en delgrupp till G med index [G:H] = n så finns en homomorfi \varphi:G \to S_n där S_n är den symmetriska gruppen med n element sådan att \phi:s kärna är en delgrupp till H. Med H = \{1\} fås den ursprungliga satsen.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt a vara ett element i G och låt X vara mängden av vänstersidoklasser till H i G. Definiera en funktion \varphi_a: X \to X genom

\varphi_a(g) = agH

för alla g i G. \varphi_a är då en permutation av X och avbildningen \varphi: X \to S_X definierad genom

\varphi(a) = \varphi_a

är en homomorfi, då det gäller att:

\varphi(ab) = \varphi_{ab} = \varphi_a \circ \varphi_b = \varphi(a)\varphi(b)

S_x är isomorf med S_n, då vi från förutsättningarna vet att X har n element. Alltså är avbildningen en homomorfi.

Låt nu specifikt a vara ett element i kärnan till \varphi, då agH = gH för alla g, speciellt är aH=H vilket ger att a tillhör H och atllså gäller att \phi:s kärna är en delgrupp till H, vilket skulle visas.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
  • Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8