Cayleys sats

Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp G är isomorf med någon permutationsgrupp. En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.

Bevis

Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen på G, betecknad Sym(G), som är isomorf med G.

Tag ett a i G och definiera en avbildning $f_a: G \to G$ som $f_a(g) = ag$ för alla g i G. Bilda $H = \{f_a: a \in G \}$, som är en delmängd till Sym(G).H är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:

$f_af_b(g) = f_a(f_b(g)) = f_a(bg) = abg = f_{ab}(g)$

dvs, $f_af_b = f_{ab}$. Det neturala elementet $\varepsilon$ i Sym(G) ligger i H eftersom $\varepsilon = f_{1_G}$. Inversen till $f_a$ ges av $f_{a^{-1}}$. Detta ger att H är en grupp, specifikt en delgrupp till Sym(G).

H är i själva verket isomorf med G, ty $\phi: G \to H$ definierad som $\phi(a) = f_a$ är en isomorfi:

$\phi$ är injektiv, ty om $\phi(a) = \phi(b)$ är $f_a = f_b$ som ger $f_a(1_G) = f_b(1_G) \Leftrightarrow a = b$.

Att $\phi$ är surjektiv följer ur definitionen.

Att $\phi$ är en grupphomomorfi, dvs att $\phi(a)\phi(b) = \phi(ab)$ följer ur $f_af_b = f_{ab}$.

De tre egenskaperna ovan ger att $\phi$ är en isomorfi. Alltså är gruppen G isomorf med permutationsgruppen H, vilket bevisar Cayleys sats.

Generalisering

Cayleys sats kan generaliseras. Om H är en delgrupp till G med index $[G:H] = n$ så finns en homomorfi $\varphi:G \to S_n$ där $S_n$ är den symmetriska gruppen med n element sådan att $\phi$:s kärna är en delgrupp till H. Med $H = \{1\}$ fås den ursprungliga satsen.

Bevis

Låt a vara ett element i G och låt X vara mängden av vänstersidoklasser till H i G. Definiera en funktion $\varphi_a: X \to X$ genom

$\varphi_a(g) = agH$

för alla g i G. $\varphi_a$ är då en permutation av X och avbildningen $\varphi: X \to S_X$ definierad genom

$\varphi(a) = \varphi_a$

är en homomorfi, då det gäller att:

$\varphi(ab) = \varphi_{ab} = \varphi_a \circ \varphi_b = \varphi(a)\varphi(b)$

$S_x$ är isomorf med $S_n$, då vi från förutsättningarna vet att X har n element. Alltså är avbildningen en homomorfi.

Låt nu specifikt a vara ett element i kärnan till $\varphi$, då $agH = gH$ för alla g, speciellt är $aH=H$ vilekt ger att a tillhör H och atllså gäller att $\phi$:s kärna är en delgrupp till H, vilket skulle visas.

Se även

• Yonedas lemma, en generalisering av Cayleys sats i kategoriteori.

Referenser

• Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
• Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8