Tjebysjovfilter

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Chebyshevfilter)
Hoppa till: navigering, sök
Olika ordningars Tjebysjovfilter med epsilon på 0,7 dvs ett passbandsrippel på 1,7dB.

Ett Tjebysjovfilter är inom signalbehandling ett analogt (passivt eller aktivt) eller digitalt låg- eller högpassfilter. Filtret har en branthet som överstiger Butterworthfiltret vid given ordning, men uppvisar i gengäld rippel och större fasvridning i passbandet. Filtret är uppkallat efter Pafnutij Tjebysjov därför att dess matematiska karaktäristik har härletts ur Tjebysjovpolynom.

Rippel[redigera | redigera wikitext]

Filterparametern \epsilon är relaterad till passbandsripplet \gamma i decibel enligt följande

\epsilon^2=10^{\frac{\gamma}{10}}-1

3dB-bandbredden f_H är relaterad till rippel-bandbredden f_C enligt:

f_H=f_C \cosh\left(\frac {1}{n}\operatorname{arccosh}\frac{1}{\epsilon}\right)


Beloppsfunktion[redigera | redigera wikitext]

Ett analogt Tjebysjovlågpassfilter har magnituden:

|H|^2= \frac{1}{1+\epsilon^2T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}

där T_n(\omega/\omega_0) är Chebyshevpolynomen definierade av

T_n(\tfrac{\omega}{\omega_0})=\cos (n \cdot \arccos\tfrac{\omega}{\omega_0}), \quad 0 \leq \tfrac{\omega}{\omega_0} \leq 1
T_n(\tfrac{\omega}{\omega_0})=\cosh (n \cdot \operatorname{arccosh}\tfrac{\omega}{\omega_0}), \quad \tfrac{\omega}{\omega_0}>1

Överföringsfunktion[redigera | redigera wikitext]

Ett analogt lågpassfilters överföringsfunktion kan allmänt skrivas:

H(s)=\frac{A_0}{(1+a_1s+b_1s^2)(1+a_2s+b_2s^2)...(1+a_ns+b_ns^2)}=\frac{A_0}{\prod_{i=1}^n (1+a_is+b_is^2)}

där A_0 är förstärkningen vid dc (dvs \omega = 0).

Vid Chebychevfilter ser de tre första ordningarnas polynom i nämnaren, för 1dB rippel i passbandet, ut som följer (\epsilon=0.5089):

n=1; \quad s+1.965
n=2; \quad s^2+1.098s+1.103
n=3; \quad (s+0.494)(s^2+0.494s+0.994)

Exempel: Aktivt analogt andra ordningens lågpassfilter[redigera | redigera wikitext]

Ett realiseringsexempel

Kopplingen till höger realiserar (A_0=1):

H(s)=\frac{1}{1+\omega_0C_1(R_1+R_2)s+\omega_0^2R_1R_2C_1C_2s^2}

där alltså

a_1=\omega_0C_1(R1+R2)=1.098/1.103 \

och

b_1=\omega_0^2R_1R_2C_1C_2=1/1.103 \

När man designar filtret så antar man lämpligtvis kondensatorerna och räknar sedan fram resistorerna.

Filtrets karaktäristik[redigera | redigera wikitext]

jw-metoden ger:

H(j\omega)=\frac{1}{((1-b_i\omega^2)+ja_i\omega)}

vars beloppsfuntion blir

|H|=\frac{1}{\sqrt{(1-b_i\omega^2)^2+(a_i\omega)^2}}

och fasfunktion

Arg(H)=-\arctan\left(\frac{a_i\omega}{1-b_i\omega^2}\right)

Om man sedan sätter \omega=\omega/\omega_0 får man en relativ uppskattning av filtrets karaktäristik.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]