Chebyshevpolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Chebyshevpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Chebyshevpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen


\begin{align}
T_0(x) & = 1 \\
T_1(x) & = x \\
T_{n+1}(x) & = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x).
\end{align}
.

De kan även definieras trigonometriskt som

T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\cosh(n\,\mathrm{arccosh}\,x) \,\!.

Deras genererande funktion är

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!

Den exponentiella genererande funktionen är

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) \frac{t^n}{n!} = \tfrac{1}{2}\left( e^{(x-\sqrt{x^2 -1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2 -1})t}\right). \,\!

En annan genererande funktion är

\sum\limits_{n=1}^{\infty }T_{n}\left( x\right) \frac{t^{n}}{n}=\ln \frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^{2}}}.

Chebyshevpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen


\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2x \\
U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}

Deras genererande funktion är

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}. \,\!

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

För varje icke-negativt heltal n är Tn(x) och Un(x) polynom av grad n.

Flera polynom, såsom Lucaspolynomen (Ln), Dicksonpolynomen (Dn) och Fibonaccipolynomen (Fn) är relaterade till Chebyshevpolynomen.

Chebyshevpolynomen av första ordningen satisfierar relationen

 T_j(x) T_k(x) = \tfrac{1}{2}\left( T_{j+k}(x) + T_{|k-j|}(x)\right),\quad\forall j,k\ge 0\,

En analog identitet för Chebyshevpolynomen av andra ordningen är

 T_j(x) U_k(x) = \tfrac{1}{2}\left( U_{j+k}(x) + U_{k-j}(x)\right),\quad\forall j,k.

En formel analogisk till

 T_n\left(\cos\theta\right) = \cos(n \theta)

är

 T_{2n+1}\left(\sin\theta\right) = (-1)^n \sin((2n+1)\theta) .

För  x\ne 0 är

 T_n\left(\tfrac{1}{2}\left[x+x^{-1}\right]\right)=\tfrac{1}{2}\left(x^n+x^{-n}\right) and
x^n= T_n\left(\tfrac{1}{2}\left[x+x^{-1}\right]\right)+ \tfrac{1}{2}\left(x-x^{-1}\right) U_{n-1}\left(\tfrac{1}{2}\left[x+x^{-1}\right]\right)

som följer ur definitionen genom att låta  x = e^{i\theta}.

Låt

C_n(x)=2T_n \left(\frac{x}{2}\right)

då är

C_n\left(C_m(x)\right)=C_m(C_n(x)).


Ortogonalitet[redigera | redigera wikitext]

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\begin{cases}
0 &: n\ne m \\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{cases}

Relationer mellan Chebyshevpolynom av första och andra ordningen[redigera | redigera wikitext]

Följande relationer gäller mellan Chebyshevpolynomen av första och andra ordningen:

\tfrac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots
T_n(x) = \tfrac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,
T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x),
 U_n(x) =2\sum_{j\,\, \text{udda}}^n T_j(x)  , där n är udda.
 U_n(x) =2\sum_{j\, \text{jämnt}}^n T_j(x)-1  , där n är jämnt.

Explicita uttryck[redigera | redigera wikitext]

Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Chebyshevpolynomen:

T_n(x) =
\begin{cases}
\cos(n\arccos(x)), & \ |x| \le 1 \\
\cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\
(-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\
\end{cases} \,\!



\begin{align}
T_n(x) & = \frac{(x-\sqrt{x^2-1})^n+(x+\sqrt{x^2-1})^n}{2} \\
& = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (1 - x^{-2})^k \\
& = \tfrac{n}{2}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2x)^{n-2k} \quad (n>0) \\
& = n \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k-1)!} {(n-k)!(2k)!}(1 - x)^k \quad (n>0)\\
& = \, _2F_1\left(-n,n;\frac 1 2; \frac{1-x} 2 \right) \\
\end{align}



\begin{align}
U_n(x) & = \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1} - (x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\
& = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (1 - x^{-2})^k \\
& =\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{2k-(n+1)}{k}~(2x)^{n-2k} \quad (n>0)\\
& =\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k \binom{n-k}{k}~(2x)^{n-2k} \quad (n>0)\\
& = \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k+1)!} {(n-k)!(2k+1)!}(1 - x)^k \quad (n>0)\\
& = (n+1) \, _2F_1\left(-n,n+2; \tfrac{3}{2}; \tfrac{1}{2}\left[1-x\right] \right)
\end{align}

där _2F_1 är hypergeometriska funktionen.

Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Chebyshevpolynomen är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen:

T_n(x)= \frac 1{{n-\frac 1 2 \choose n}} P_n^{-\frac 1 2, -\frac 1 2}(x)= \frac n 2 C_n^0(x) U_n(x)= \frac 1{2{n+\frac 1 2 \choose n}} P_n^{\frac 1 2,  \frac 1 2}(x)= C_n^1(x).

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chebyshev polynomials, 5 december 2013.