Cosinussatsen

Från Wikipedia

c ² = a ² + b² - 2ab cos γ

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den motstående vinkeln.

Antag att vi har en triangel med sidlängderna $a$ , $b$ och $c$ . Dessutom betecknar vi vinkeln som står mot sidan $a$ med $α$ .

Då gäller att $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)$ . Speciellt, om $\alpha=90^\circ$ (det vill säga en rät vinkel), så erhålls Pythagoras sats, då cosinus för en rät vinkel är lika med 0.

[redigera] Bevis

Figur 3: Modell för beteckningarna som används i beviset

Cosinussatsen kan bevisas på flera sätt men med följande resonemang kan satsen härledas geometriskt.

Om vi delar in en triangel enligt figur 3 så får man med hjälp av Pythagoras sats att $a^2 = \left( a \cos \beta \right)^2 + \left( b^2 - \left( b \cos \alpha \right)^2 \right)$ .

Med hjälp av figuren inses sedan enkelt att $a cosβ = c - b cosα$ som vi sätter in i den första formeln för $a 2$ fås att $a^2 = \left( c - b \cos \alpha \right)^2 + b^2 - \left( b \cos \alpha \right)^2$