Cosinussatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
c ² = a ² + b² - 2ab cos γ

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.

Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:

Triangel-beteckningar.svg

Då gäller att

a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos \alpha
b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos \beta
c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos \gamma

Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Triangle-with-cosines.svg

Om Pythagoras sats tillämpas erhålls

\ a^2 = \left( a \cos \beta \right)^2 + \left( b^2 - \left( b \cos \alpha \right)^2 \right)

Enligt figuren är

\ a \cos \beta = c - b \cos \alpha

vilket om det insätts i uttrycket för \ a^2 ger

a^2 = \left( c - b \cos \alpha \right)^2 + b^2 - \left( b \cos \alpha \right)^2

En utveckling av ovanstående uttryck ger till slut

a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha

Se även[redigera | redigera wikitext]