Cyklisk fyrhörning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Inskriven-fyrhörning.svg

En cyklisk fyrhörning är en fyrhörning vars hörn ligger på en cirkel.

  • För en cyklisk fyrhörning är summan av två motsatta vinklar 180 grader
  • Om i en fyrhörning summan av två motsatta vinklar är 180 grader är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel
  • Om i en fyrhörning ABCD vinkeln ACD = vinkeln ABD är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel

Area[redigera | redigera wikitext]

Arean A av en cyklisk fyrhörning med sidorna a, b, c, d ges av Brahmaguptas formel

A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \,

där semiperimetern s är

s=\frac{a+b+c+d}{2}.

Omskrivna cirkelns radie[redigera | redigera wikitext]

Om den cykliska fyrhörningens sidor betecknas a, b, c, d och semiperimetern med s är den omskrivna cirkelns radie

R=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

Diagonaler[redigera | redigera wikitext]

Enligt Ptolemaios sats är produkten av de två diagonalerna p och q hos en cyklisk fyrhörning lika med summan av produkterna av de motstående sidorna ac och bd:

\ p q = ac + bd

För en cyklisk fyrhörning med de successiva hörnen A, B, C, D och de successiva sidorna a = AB, b = BC, c = CD, och d = DA och med diagonalerna p = AC och q = BD gäller:

\frac {p}{q}= \frac{ad+cb}{ab+cd} (Ptolemaios andra sats),
p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}},

och

q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}.

Vinklar[redigera | redigera wikitext]

För en cyclisk fyrhörning med de efter varandra följande sidorna a, b, c, d, semiperimeter s, och vinkeln A mellan sidorna a och d, ges de trigonometriska funktionerna för vinkeln A enligt

\cos A = \frac{a^2 + d^2 - b^2 - c^2}{2(ad + bc)}
\sin A = \frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)}
\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}

För vinkeln \theta mellan diagonalerna gäller

\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}