Cyklisk matris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En cyklisk matris är en matris där varje rad (och kolonn) är en cyklisk skiftning av elementen i den föregående raden (kolonnen). Cykliska matriser är ett specialfall av Toeplitzmatriser. Cykliska matriser används i samband med diskret Fouriertransform och inom Advanced Encryption Standard.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En cyklisk matris C kan skrivas på formen:

C =
\begin{pmatrix}
c_1 & c_2 & c_3 & \cdots & c_n \\
c_n & c_1 & c_2 & \cdots & c_{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_2 & c_3 & c_4 & \cdots & c_1
\end{pmatrix}

så att matrisen C bestäms av den n-dimensionella vektorn bestående av (c_1, c_2, ..., c_n). En matris är cyklisk om och endast om den kan skrivas som en summa:

 C = \sum_{k=0}^{n-1} c_{k+1} P^k

där P kallas för en grundläggande cyklisk permutationsmatris och har formen:

P =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0& 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Cykliska matriser är normala och har egenvektorer vj:
\mathbf v_j = \frac{1}{\sqrt n}
\begin{pmatrix}
e^{\frac{2 \pi j}{n}} & e^{\frac{4 \pi j}{n}} & \cdots & e^{\frac{2 \pi j k}{n}} & \cdots & 1
\end{pmatrix}^T
~~~ j = 0, 1, ..., n-1
  • Summan och produkten av två cykliska matriser är cykliska matriser och multiplikation mellan cykliska matriser är kommutativ. Alltså bildar mängden av alla n×n-matriser ett n-dimensionellt vektorrum, men även en kommutativ algebra över en kropp.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6 
  • Heath, Michael T. (2005). Scientific Computing. McGraw-Hill. ISBN 007-124489-1