Dedekinds zetafunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Dedekinds zetafunktion av en algebraisk talkropp K, vanligen betecknad med ζK(s), en generalisering av Riemanns zetafunktion, som är specialfallet av Dedekinds zetafunktion i fallet då K är de rationella talen Q. Dedekinds zetafunktion har flera gemensmma egenskaper med Riemanns zetafunktion: den definieras som en Dirichletserie, den har en Eulerprodukt, den satisfierar en funktionalekvation, den har en analytisk fortsättning till en meromorf funktion i komplexa planet C med bara en enkel pol vid s = 1. Dess värden ger aritmetisk information om K. Den utvidgade Riemannhypotesen säger att om ζK(s) = 0 och 0 < Re(s) < 1 är Re(s) = 1/2.

Dedekinds zetafunktion är uppkallad efter Richard Dedekind.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt K vara en algebraisk talkropp. Dedekinds zetafunktion av K definieras för komplexa tal s med reell del Re(s) > 1 som Dirichletserien

\zeta_K(s):=\sum_\mathfrak{a}{\mathfrak{N}(\mathfrak{a})}^{-s}

där \mathfrak{a} går genom alla heltalsideal av K och \mathfrak{N}(\mathfrak{a}) är deras absolutnorm. Serien \zeta_K(s) konvergerar absolut och likformigt för \Re (s)\geq 1+\delta för alla \delta >0. Dedekinds zetafunktion kan skrivas som Eulerprodukten

\zeta_K (s)=\prod_\mathfrak{p}\frac{1}{1-{\mathfrak{N}(\mathfrak{p})}^{-s}}

där \mathfrak{p} går över alla primideal av K. Zetafunktionen kan fortsätttas analytiskt till \mathbb{C}\setminus\{1\}. I fallet K = Q rducerar sig detta till definitionen av Riemanns zetafunktion.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dedekind zeta function, 9 juli 2014.