Dedekinds zetafunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Dedekinds zetafunktion av en algebraisk talkropp K, vanligen betecknad med ζK(s), en generalisering av Riemanns zetafunktion, som är specialfallet av Dedekinds zetafunktion i fallet då K är de rationella talen Q. Dedekinds zetafunktion har flera gemensmma egenskaper med Riemanns zetafunktion: den definieras som en Dirichletserie, den har en Eulerprodukt, den satisfierar en funktionalekvation, den har en analytisk fortsättning till en meromorf funktion i komplexa planet C med bara en enkel pol vid s = 1. Dess värden ger aritmetisk information om K. Den utvidgade Riemannhypotesen säger att om ζK(s) = 0 och 0 < Re(s) < 1 är Re(s) = 1/2.

Dedekinds zetafunktion är uppkallad efter Richard Dedekind.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt K vara en algebraisk talkropp. Dedekinds zetafunktion av K definieras för komplexa tal s med reell del Re(s) > 1 som Dirichletserien

\zeta_K (s) = \sum_{I \subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{(N_{K/\mathbf{Q}} (I))^{s}}

där I går äver alla nollskilda idealer av ringen av heltal OK av K och NK/Q(I) betecknar den absoluta normen av I (som är lika med indexet [OK : I] av I i OK eller ekvivalent kardinaliteten av kvotringen OK / I). Summan konvergerar absolut för alla komplexa tal s med reell del Re(s) > 1. I fallet K = Q rducerar sig detta till definitionen av Riemanns zetafunktion.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dedekind zeta function, 9 juli 2014.