Delrumstopologi

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett delrum eller underrum inom matematikgrenen topologi är en delmängd till ett topologiskt rum utrustad med en speciell topologi kallad underrumstopologi, delrumstopologi eller relativ topologi inducerad från topologin på hela rummet.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Illustration av delrumstopologi. Rummet X har de öppna mängderna A, B och C.

Givet ett topologiskt rum (X, \tau) så är underrumstopologin \tau_S till en delmängd S \subset X definierad enligt

\tau_S = \{S \cap U: U \in \tau \}.

Det topologiska rummet (S, \tau_S) kallas då för ett underrum till det topologiska rummet (X, \tau). Att \tau_S verkligen är en topologi följer av:

  1. \varnothing = \varnothing \cap S
  2. S = S \cap X
  3. För V \in \tau_S gäller att V = U \cap S för något U i \tau. Alltså gäller:
\bigcap_{k=1}^n V_k = \bigcap_{k=1}^n (U_k \cap S) = \left( \bigcap_{k=1}^n U_k \right) \cap S.
\bigcup_{\alpha \in I} V_\alpha = \bigcup_{\alpha \in I} (U_\alpha \cap S) = \left( \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha \right) \cap S.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Om \mathfrak{B} är en bas för topolopgin \tau i X så är
\mathfrak{B}_S = \{B \cap S: B \in \mathfrak{B} \}
en bas för underrumstopologin \tau_S.
  • Om (S, \tau_S) är ett underrum till (X, \tau), V \in \tau_S och S \in \tau så gäller att V \in \tau.
  • De slutna mängderna i ett underrum är exakt de mängder som är snitt mellan underrummet och de slutna mängderna i det större rummet.
  • Om A är ett delrum till S och S är ett delrum till X så är A ett delrum till X med samma topologi.

Ärftliga egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En egenskap hos ett topologiskt rum sägs vara ärftlig om det gäller att varje delrum till rummet har egenskapen. Exempelvis är egenskaperna att vara Hausdorffrum och Kolmogorovrum ärftliga.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Betrakta de reella talen R med standardtopologin och delmängden av de naturliga talen. Delrumstopologin är då den diskreta topologin.
  • Ta R med standardtopologin och delmängden S = [a,b]. En bas för underrumstopologin är då de mängder som fås som (x,y) \cap [a,b]. Dessa mängder kan få följande utseenden:
\begin{matrix}(x,y) & [a,y) & (x,b] & [a,b]\end{matrix}.

Referenser[redigera | redigera wikitext]