Derivering av integraler

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Derivering av integraler är en central operation i matematisk analys. Det är ofta relevant att fråga huruvida funktioner av typen

I(t) = \int_E f(x,t) \, dx

har någon derivata och i så fall vilken.

Derivering genom byte av integrationsordning[redigera | redigera wikitext]

I(t) = \int_E f(x,t) \, dx = \int_E f(x,t) \, dx = \int_E \left( \int_a^t  \frac{\part}{\part s} f(x,s) \, ds \,  +  f(x,a)\right)  dx

Under vissa förutsättningar (se byte av integrationsordning) kan dessa integraler beräknas i omvänd ordning och I(t) \, blir då lika med.

\int_a^t \left( \int_E  \frac{\part}{\part s} f(x,s) \, dx \, \right) ds + \int_Ef(x,a)\,dx,

varvid

I'(t) = \int_E  \frac{\part}{\part t} f(x,t) \, dx.

Tillräckliga krav[redigera | redigera wikitext]

Dessa krav är var för sig tillräckliga för att det skall vara tillåtet att flytta deriveringen innanför integralen:

  1. \frac{\part}{\part t} f(x,t)\ge 0 för alla x,t \,
  2. \int_E \left| \frac{\part}{\part t} f(x,t)\right| dx < \infty
  3. f \, och \frac{\part f}{\part t} är begränsade och kontinuerliga i x \, och t \,

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Betrakta funktionen

I(t) = \int_0^\infty \frac{e^{-x} - e^{-tx}}{x} dx .

Vi ser direkt att I(1)=0 \, och att

\frac{\part}{\part t} \left( \frac{e^{-x} - e^{-tx}}{x} \right) = e^{-tx} .

Eftersom derivatan alltid är positiv kan vi byta integrationsordning:

I(t) = \int_0^\infty \left( \int_1^t e^{-sx} ds \right) dx  = \int_1^t \left( \int_0^\infty e^{-sx} dx \right) ds =  \int_1^t \left[ \frac{e^{-sx}}{-s}\right]_{x=0}^{x=\infty} ds = \int_1^t \frac{1}{s} ds = \log t.

Genom att derivera var det alltså möjligt att beräkna I(t)\, explicit.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons 1999 ISBN 0-471-31716-0

Se även[redigera | redigera wikitext]

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Måtteori