Differensoperator

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en differensoperator en operator som avbildar en funktion  f(x) till en annan funktion  f(x+a) - f(x+b).

De två enklaste differensoperatorerna är framåtdifferensoperatorn:

 \Delta f(x) = f(x+1) - f(x)\,

och bakåtdifferensoperatorn:

 \nabla  f(x) = f(x) - f(x-1).

Framåtdifferensoperatorn spelar inom diskret matematik en liknande som derivatan spelar inom kontinuerlig matematik. Differensekvationer kan med differensoperatorn ofta lösas på ett liknande sätt som differentialekvationer löses med differentialoperatorn.

Räkneregler[redigera | redigera wikitext]

För både  \Delta \, och  \nabla gäller att:

  • Om  c är konstant är:
 \Delta c = 0
  • Linjäritet, för funktioner  f, g och konstanter a,b:
\Delta (af+bg) = a \Delta f + b \Delta g \,

Följande regler är olika för  \Delta \, och  \nabla \, :

  • Produktregel:
\Delta (fg) = f \Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g \,
\nabla (fg) = f \nabla g + g \nabla f - \nabla f \nabla g
  • Kvotregel:
\triangle\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\triangle f - f \,\triangle g}{g \cdot (g + \triangle g)}
\nabla\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\nabla f - f \,\nabla g}{g \cdot (g - \nabla g)}
  • Summering:
 \sum_{k=a}^b \Delta f(k) = f(b+1) - f(a)
 \sum_{k=a}^b \nabla f(k) = f(b) - f(a-1)

Detta göra att summeringar av funktioner  f där man vet att  \Delta g = f blir väldigt enkla. Likheter kan ses med integraler, om  F(x) är en primitiv funktion fill  f(x) :

 \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

Exempel[redigera | redigera wikitext]

En fallande potens av ett tal  x är ett tal sådant att:

 x^{\underline{m}} = x(x-1)...(x-m+1)

Fallande potenser har väldigt enkla differenser:

 \Delta (x^{\underline{m}}) = (x+1)^{\underline{m}} - x^{\underline{m}} = (x+1)x(x-1)...(x-m+2) - x(x-1)...(x-m+1) =
 = x(x-1)...(x-m+2)(x+1-(x-m+1)) = mx(x-1)...(x-m+2) = mx^{\underline{m-1}}

Dvs, kort uttryckt:

 \Delta (x^{\underline{m}}) = mx^{\underline{m-1}}.