Differentierbarhet

Differentierbarhet är inom matematisk analys en lokal egenskap hos en funktion som generaliserar begreppet deriverbarhet. Ur differentierbarhet följer kontinuitet och kedjeregeln.

Definition

Funktionen $f:\R^n \rightarrow \R$ säges vara differentierbar i punkten $\bar{a}$ om och endast om det existerar en punkt A i $\R^n$ och en funktion $\rho:\R^n \rightarrow \R$ sådana att

$f( \bar{a} + \bar{h} ) - f(\bar{a}) = \bar{A} \cdot \bar{h} + |\bar{h}| \rho(\bar{h})$

och

$\lim_{\bar{h} \rightarrow \bar{0}} \rho(\bar{h}) = 0$

En funktion säges vara differentierbar på en mängd M om funktionen är differentierbar i alla punkter i M.

Det kan observeras att definitionen av differentierbarhet är ekvivalent med definitionen för deriverbarhet då $n=1$. För vektorvärda funktioner betraktas komponentfunktionernas differentierbarhet.

Man kan visa $A_i =\frac{ \partial f(\bar{x})}{\partial x_i}$ i punkten $\bar{x}=\bar{a}$ liksom att existensen av kontinuerliga partiella derivator för en funktion implicerar differentierbarhet. Liksom ekvationen för tangenten till funktionen kan utläsas ur definitionen av deriverbarhet beskriver högerledet i definitionen ovan tangentplanet till funktionen i punkten $\bar{a}$.

Att en funktion är differentierbar innebär att den är deriverbar i alla riktningar. Grafiskt tolkat betyder det att tangentplanet ligger nära funktionsytan. Alla kontinuerliga funktioner är således inte differentierbara.