Differentierbarhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Differentierbarhet är inom matematisk analys en lokal egenskap hos en funktion som generaliserar begreppet deriverbarhet till flera dimensioner. Ur differentierbarhet följer kontinuitet och kedjeregeln.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Funktionen f:\R^n \rightarrow \R säges vara differentierbar i punkten \bar{a} om och endast om det existerar en punkt A i \R^n och en funktion \rho:\R^n \rightarrow \R sådana att

f( \bar{a} + \bar{h} ) - f(\bar{a}) = \bar{A} \cdot \bar{h} + |\bar{h}| \rho(\bar{h})

och

\lim_{\bar{h} \rightarrow \bar{0}} \rho(\bar{h}) = 0

En funktion säges vara differentierbar på en mängd M om funktionen är differentierbar i alla punkter i M.

Det kan observeras att definitionen av differentierbarhet är ekvivalent med definitionen för deriverbarhet om f är en funktion av bara en variabel. För vektorvärda funktioner betraktas komponentfunktionernas differentierbarhet.

Man kan visa A_i =\frac{ \partial f(\bar{x})}{\partial x_i} i punkten \bar{x}=\bar{a} liksom att existensen av kontinuerliga partiella derivator för en funktion implicerar differentierbarhet. Liksom ekvationen för tangenten till funktionen kan utläsas ur definitionen av deriverbarhet beskriver högerledet i definitionen ovan tangentplanet till funktionen i punkten \bar{a}.


Att en funktion är differentierbar innebär att den är deriverbar i alla riktningar. Grafiskt tolkat betyder det att tangentplanet ligger nära funktionsytan. Alla kontinuerliga funktioner är således inte differentierbara.