Digammafunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Digammafunktionen är en speciell funktion som definieras som gammafunktionens logaritmiska derivata:

\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.

Relation till harmoniska tal[redigera | redigera wikitext]

Digammafunktionen är relaterad till harmoniska talen enligt

\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!

där Hn är set n:te harmoniska talet, och γ är Eulers konstant.

Integralrepresentation[redigera | redigera wikitext]

Om reella delen av x är positiv kan digammafunktionen skrivas som integralerna

\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt

och

\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx.

Serierepresentation[redigera | redigera wikitext]

Det finns ett flertal oändliga serier för digammafunktionen:

\psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots

Taylorserien är

\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k,

som konvergerar för |z|<1. En annan serie är

\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k}.

Reflektionsformel[redigera | redigera wikitext]

Digammfunktionen satisfierar reflektionsformeln

\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }.

Gauss digammasats[redigera | redigera wikitext]

För positiva heltal m och k med m < k gäller

\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) 
-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right)
+2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor}
\cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right)
\ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right).

Beräkning och approximering[redigera | redigera wikitext]

Digammafunktionen kan approximeras som

 \psi(x) = \ln(x) - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + \frac{1}{240x^8} - \frac{5}{660x^{10}} + \frac{691}{32760x^{12}} - \frac{1}{12x^{14}} + O\left(\frac{1}{x^{16}}\right)

som är början av dess asymptotiska expansion. Hela expansionen ges av

 \psi(x) = \ln(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}
 = \ln(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n\, x^{2n}}

där B_k är det k-te Bernoullitalet och \zeta är Riemanns zetafunktion.

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

 \psi(1) = -\gamma\,\!
 \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Digamma function, 15 november 2013.