Dihedral grupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Den dihedrala gruppen är ett begrepp inom matematik, den betecknas D_n och avser symmetrigruppen för en regelbunden n-hörning. Elementen i den dihedrala gruppen kan ses som avbildningar från n-hörningen till samma n-hörning, och med den binära operatorn avbildningssammansättning bildar mängden av alla sådana avbildningar en algebraisk struktur som kallas grupp. En dihedral grupp Dns ordning är 2n, dvs antalet symmetriavbildningar är totalt 2n stycken (av denna anledning betecknas gruppen ibland D2n).

Grupper är viktiga studieobjekt inom den abstrakta algebran och de dihedrala grupperna är de enklaste exemplen på grupper som inte är abelska grupper, då alla Dn med n > 2 inte är kommutativa. Gruppen D1 är isomorf med \Z_2 och D_2 är Kleins fyrgrupp, dessa är även unika i avseendet att de inte är delgrupper till de symmetriska grupperna S1 respektive S2. För n > 2 gäller att Dn är en delgrupp i Sn.

Definitioner[redigera | redigera wikitext]

Det finns många sätt att definiera de dihedrala grupperna på, samtliga är ekvivalenta.

  • Dn består av de 2n avbilningar som avbildar en regelbunden n-hörning på sig själv. Avbildningarna består av n rotationer och n speglingar.
  • För n > 2 kan Dn ses som automorfigruppen, dvs alla avbildningar som bevarar bågar, för en graf bestående av endast en cykel med n noder.
  • Dn, för n > 1, kan ses som gruppen med ordning 2n som genereras av två element t och s som uppfyller:
s^n = 1 ~~~~ t^2 = 1 ~~~~ tst^{-1} = s^{-1}.

Exempel: En liksidig triangel[redigera | redigera wikitext]

Symmetrilinjer för en regelbunden triangel.

Till exempel är den dihedrala gruppen D3 en abstrakt beskrivning över de sex olika sätt du kan vrida på och spegla hörnen i en liksidig triangel. Man kan vrida triangeln på i princip tre sätt, 0, 120 och 240 grader. Det finns tre symmetrilinjer som man kan använda vid spegling, så gruppen har ordning 6. Om Rk är rotation med  k \frac{2\pi}{3} radianer för k=0,1,2 och Sk är spegling i de olika symmetrilinjerna kan man ställa upp följande Cayleytabell för gruppen:

R0 R1 R2 S0 S1 S2
R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2
R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0
R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1
S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1
S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2
S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0

Exempelvis är S_0 S_1 = R_2, dvs spegling i symmetrilinje 1 följt av spegling i symmetrilinje 0 är likvärdigt med att rotera triangeln 240 grader.

Elementen i gruppen kan ses som permutationer av triangelns hörn. Låt hörnen betecknas med 1, 2 och 3, då permutationerna kan uttryckas på cykelform som:

\begin{matrix}

R_0 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} &
R_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} &
R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \\
S_0 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix} &
S_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} &
S_2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix}

\end{matrix}

Man ser då exempelvis att:

S_1 S_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = R_1

Av faktumet att den symmetriska gruppen S_3 har 3! = 6 element och att D_3 är en undergrupp till S_3 och har 6 element ser man att S_3 och D_3 är samma grupp.

Matrisrepresentation[redigera | redigera wikitext]

Om man fixerar centrum av n-hörningen vid origo kan man se elementen i den dihedrala gruppen som linjära avbildningar av planet. Man kan då representera elementen i gruppen som matriser, ett exempel på en grupprepresentation.

Exempelvis kan gruppen D_4 representeras av följande matriser under multiplikation:

\begin{matrix}
R_0=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}\bigr) &
R_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}\bigr) &
R_2=\bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}\bigr) &
R_3=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}\bigr) \\[1em]
S_0=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}\bigr) &
S_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}\bigr) &
S_2=\bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}\bigr) &
S_3=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}\bigr).
\end{matrix}

I allmänhet kan den dihedrala gruppen D_n uttryckas som matriserna:

R_k = \begin{pmatrix}
\cos 2\pi k/n & -\sin 2\pi k/n \\
\sin 2\pi k/n & \cos 2\pi k/n 
\end{pmatrix}
~~
S_k = \begin{pmatrix}
\cos 2\pi k/n & \sin 2\pi k/n \\
\sin 2\pi k/n & -\cos 2\pi k/n
\end{pmatrix}

för k=1,2,...,n.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. sid. 68. ISBN 0-387-94285-8 
  • Dummit, David; Richard Foote (2004). Abstract Algebra. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-43334-9