Dilogaritmen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Dilogaritmen är en speciell funktion som är ett specialfall av polylogaritmen. Den definieras som


\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{\ln(1-u) \over u}\, \mathrm{d}u \text{, }z \in\mathbb{C} \setminus [1,\infty)

För |z|<1 kan den definieras som den oändliga serien


\operatorname{Li}_2(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^2}.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(-z) = {\textstyle{\frac12}} \operatorname{Li}_2(z^2)
\operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)=-{\textstyle{\frac12}}\ln^2{z}
\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1-z) = {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2 - \ln z \;\ln(1-z)
\operatorname{Li}_2(-z)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{z}{1+z}\right)= - {\textstyle{\frac12}} {\ln^2(1+z)}
\operatorname{Li}_2(-z)-\operatorname{Li}_2(1-z)+ {\textstyle{\frac12}} \operatorname{Li}_2(1-z^2)=- {\textstyle{\frac{1}{12}}} \pi^2 - \ln z \ln(1+z)
\operatorname{Li}_2(-z)+\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{z}\right)= - {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2 -{\textstyle{\frac12}}\ln^2{z}

För x>1,

\operatorname{Li}_2(x)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{x}\right)= {\textstyle{\frac{1}{3}}} \pi^2 -{\textstyle{\frac12}}\ln^2{x} - {\rm i}\pi\ln{x}
\operatorname{Li}_2(xy) = \operatorname{Li}_2(x) + \operatorname{Li}_2(y) - \operatorname{Li}_2\left(\frac{x(1-y)}{1-xy}\right) - \operatorname{Li}_2\left(\frac{y(1-x)}{1-xy}\right)-\ln\left(\frac{1-x}{1-xy}\right)\ln\left(\frac{1-y}{1-xy}\right)

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

\operatorname{Li}_2(-1)=-\frac{{\pi}^2}{12}
\operatorname{Li}_2(0)=0
\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{12}-\frac{\ln^2 2}{2}
\operatorname{Li}_2(1)=\frac{{\pi}^2}{6}
\operatorname{Li}_2(2)=\frac{{\pi}^2}{4}-i\pi\ln2
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{\sqrt5-1}{2}\right)=-\frac{{\pi}^2}{15}+\frac{1}{2}\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}
=-\frac{{\pi}^2}{15}+\frac{1}{2}\operatorname{arcsch}^2 2
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{\sqrt5+1}{2}\right)=-\frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 \frac{\sqrt5+1}{2}
=-\frac{{\pi}^2}{10}-\operatorname{arcsch}^2 2
\operatorname{Li}_2\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{15}-\frac{1}{2}\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}
=\frac{{\pi}^2}{15}-\frac{1}{2}\operatorname{arcsch}^2 2
\operatorname{Li}_2\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}
=\frac{{\pi}^2}{10}-\operatorname{arcsch}^2 2
\operatorname{Li}_2(\pm{\rm i}) =  - {\textstyle{\frac{1}{48}}} \pi^2 \pm {\rm i} G

där G är Catalans konstant

Identiteter för speciella värden[redigera | redigera wikitext]

\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{{\pi}^2}{18}-\frac{\ln^23}{6}
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{{\pi}^2}{18}-\ln2\cdot \ln3-\frac{\ln^22}{2}-\frac{\ln^23}{3}
\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{{\pi}^2}{18}+2\ln2\ln3-2\ln^22-\frac{2}{3}\ln^23
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{{\pi}^2}{18}+\frac{1}{6}\ln^23
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{8}\right)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{2}\ln^2{\frac{9}{8}}
36\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)-36\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)-12\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{8}\right)+6\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{64}\right)={\pi}^2


Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Spence's function, 12 november 2013.