Dimensionssatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Dimensionssatsen är en sats inom linjär algebra om det samband som finns mellan nollrummet och värderummet till en linjär avbildning och dess dimensioner:

Om  \mathbb{U} och  \mathbb{V} är två vektorrum och F:\mathbb{U} \rightarrow \mathbb{V} är en linjär avbildning så gäller:
 \dim N(F) + \dim V(F) = \dim \mathbb{U}

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Antag att  \dim \mathbb{U} = n , låt  \bar{u}_1, ... , \bar{u}_k vara en bas för  N(F) och fyll ut med  \bar{u}_{k+1}, ... , \bar{u}_n till en bas för  \mathbb{U} .


  • Om \dim N(F) = \dim \mathbb{U} = n \Leftrightarrow k = n är  V(F) = \{0\} ty det enda som nås av  F är nollvektorn och  \dim N(F)+ \dim V(F) = n + 0 = n = \dim \mathbb{U} och satsen stämmer.



  • Om  1 \le \dim N(F) = k < n gäller som vanligt att  V(F) = \left[ F(\bar{u}_1), ... , F(\bar{u}_n) \right] men då  F(\bar{u}_1) = ... = F(\bar{u}_k) = 0 innebär det att  V(F) = \left[ F(\bar{u}_{k+1}), ... , F(\bar{u}_n) \right] där  F(\bar{u}_{k+1}), ... , F(\bar{u}_n) måste vara linjärt oberoende ty  \lambda_{k+1} F(\bar{u}_{k+1}) + ... + \lambda_{n} F(\bar{u}_n) = 0 \Leftrightarrow F(\lambda_{k+1} \bar{u}_{k+1} + ... + \lambda_n \bar{u}_n) = 0 \Leftrightarrow \lambda_{k+1} \bar{u}_{k+1} + ... + \lambda_n \bar{u}_n = 0 \Leftrightarrow \lambda_{k+1} = ... = \lambda_n = 0 ty  \lambda_{k+1} \bar{u}_{k+1} + ... + \lambda_n \bar{u}_n \in N(F) omm  \lambda_{k+1} \bar{u}_{k+1} + ... + \lambda_n \bar{u}_n = 0 och  \bar{u}_{k+1}, ... , \bar{u}_n är alla  \not = 0 då de är basvektorer i  \mathbb{U} och således linjärt oberoende. Alltså utgör  F(\bar{u}_{k+1}), ... , F(\bar{u}_n) en bas för  V(F) och  \dim N(F)+ \dim V(F) = k + (n - k) = n = \dim \mathbb{U} och satsen stämmer.



  • Om \dim N(F) = 0 \Leftrightarrow k = 0 gäller som vanligt att  V(F) = \left[ F(\bar{u}_1), ... , F(\bar{u}_n) \right] där  F(\bar{u}_1), ... , F(\bar{u}_n) måste vara linjärt oberoende ty  \lambda_1 F(\bar{u}_1) + ... + \lambda_{n} F(\bar{u}_n) = 0 \Leftrightarrow F(\lambda_1 \bar{u}_1 + ... + \lambda_n \bar{u}_n) = 0 \Leftrightarrow \lambda_1 \bar{u}_1 + ... + \lambda_n \bar{u}_n = 0 \Leftrightarrow \lambda_1 = ... = \lambda_n = 0 ty  N(F) = \{0\} och  \bar{u}_1, ... , \bar{u}_n är alla  \not = 0 då de är basvektorer i  \mathbb{U} och således linjärt oberoende. Alltså utgör  F(\bar{u}_1), ... , F(\bar{u}_n) en bas för  V(F) och  \dim N(F)+ \dim V(F) = 0 + n = n = \dim \mathbb{U} och satsen stämmer.

Således har vi nu visat att satsen stämmer i samtliga tre fall.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet