Dirichletfaltning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Dirichletfaltningen är en binär operator definierad på aritmetiska funktioner med användning inom talteorin.

Om f och g är två aritmetiska funktioner (dvs funktioner från de positiva heltalen till de komplexa talen) så definieras den nya aritmetiska funktionen f * g, Dirichletfaltningen av f och g som


(f*g)(n) = \sum_{d|n, d>0} f(d)g(n/d)

där summan tas över alla positiva delare d till n.

Några generalla egenskaper hos denna operator inkluderar:

  • Om både f och g är multiplikativa så är även f * g multiplikativ (Notera dock att faltningen av två komplett multiplikativa funktioner inte måste bli komplett multiplikativ).
  • f * g = g * f (kommutativitet)
  • (f * g) * h = f * (g * h) (associativitet)
  • f * (g + h) = f * g + f * h (distributivitet)
  • f * ε = ε * f = f, där ε är funktionen som definieras ε(n) = 1 om n = 1 och ε(n) = 0 om n > 1.
  • Till varje multiplikativ funktion f existerar det en multiplikativ funktion g så att f * g = ε.

Med addition och Dirichletfaltning bildar mängden av de aritmetiska funktionerna en kommutativ ring med multiplikativ enhet ε kallad Dirichletringen. Enheterna i denna ring är de aritmetiska funktionerna f med f(1) ≠ 0.

Vidare bildar de multiplikativa funktionerna med faltning en abelsk grupp med neutralt element ε.

Se även[redigera | redigera wikitext]