Division (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Matematiska operationer
Addition (+)
addend + addend = summa
Subtraktion (−)
minuend − subtrahend = differens
Multiplikation (×)
multiplikand × multiplikator = produkt
Division (÷)
dividend ÷ divisor = kvot
Exponentiering
basexponent = potens
n:te roten (√)
gradradikand = rot
Logaritm (log)
logbas(potens) = exponent
Illustration av 20/4=5

Division utgör en av de grundläggande operatorerna inom aritmetiken, och är inversen till multiplikation, på liknande sätt som subtraktion är invers till addition. Resultatet av en division av två tal kallas kvot.

Kvoten mellan a och b skrivs ofta som a/b, där kvoten utgör talet a uppdelat i b antal delar.

I en division a/b får talet b inte vara 0, då resultatet i så fall skulle bli oändligt. Oändligheten är inte ett tal, och man låter därför division med noll vara odefinierat. Mer om detta kan läsas i division med noll.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Exakt när divisionen uppkom är inte helt klart. Man vet dock att den användes långt innan den fick sin matematiska definition. Det var framförallt när talrepresentationen som man har idag tog form som aritmetiken och dess operatorer utvecklades till vad det är idag. När bråk infördes gjordes det möjligt att verkligen fullt ut definiera divisionen.

Det har under människans historia funnits en mängd stora civilisationer och de har näst intill alla haft sina egna sätt att beräkna division på. Egyptierna använde till exempel prickar över sina symboler för heltal för att markera att de var bråk, exempelvis kunde iii betyda 1/3.

De beräknade också division på ett speciellt sätt. För att beräkna 27/3 skrev de först upp 1 och 3 i varsin spalt (spalt 1 och spalt 2):

Spalt 1 Spalt 2
1 3
2 6
4 12
8 24

Därefter fördubblades siffrorna i spalterna till dess man kunde finna en summa som är 27 i spalt 2 i vårt fall, det vill säga 24+3. När var gjort så adderade man motsvarande tal i den vänstra spalten och detta ger då kvoten, alltså 1+8=9.

Denna metod fungerade endast så länge talen gick jämnt ut i divisionen, men de använde sig dock av en liknande metod för att räkna ut divisioner med rest.

I Sverige har man använt sig av kort division och lång division för att beräkna olika kvoter. Lång division brukar oftast kallas för trappan eller liggande stolen där skillnaden mellan dessa ligger i hur man placerar nämnaren och täljaren i uträkningen.

Notation[redigera | redigera wikitext]

  • Med snedstreck a/b\
  • Med tecknet ÷ a \div b
  • Med ett vågrätt (horisontellt) bråkstreck \frac{a}{b}
  • Med kolon a:b\
  • Med hjälp av negativa exponenter a\cdot b^{-1}

Division med bråk[redigera | redigera wikitext]

För att beräkna {{a \over b}\over {c \over d}} använder man sig av inversen till bråket i nämnaren, så att \frac {\frac a b} {\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \frac {ad} {bc}, där a är den enda som kan vara 0.

Exempel:
\frac {\frac 1 4} {\frac 2 6} = \frac 1 4 \cdot \frac 6 2 = \frac {6} {8} ,

Vid division mellan två tal där bara det ena är ett bråk, uppstår ett uttryck med två bråkstreck som inte är likvärdiga. Uttrycken "en halv delat på tre" och "en delat på två tredjedelar" kan se förvillande lika ut, men ger helt olika resultat. Avsikten kan förtydligas genom att man gör det ena bråkstrecket större eller sätter parentes kring det som ska räknas ut först. Det tal som inte är bråk kan skrivas som en division med ett. Då får uttrycket samma form som ovan och kan räknas ut enligt denna metod.

Exempel:
\frac {\frac 1 2} {3} = \frac {\left( {\frac 1 2} \right)} {3} = \frac {\frac 1 2} {\frac 3 1} = \frac 1 6
men
\frac 1 {\frac 2 3} = \frac {1} {\left( {\frac 2 3} \right)} = \frac {\frac 1 1} {\frac 2 3} = \frac 3 2 ,

Division med komplexa tal[redigera | redigera wikitext]

Grafisk illustration av ett komplext tal och dess konjugat

Låt oss säga att vi har två komplexa tal z_1 och z_2 och nu vill beräkna \frac{z_1}{z_2}.

Man märker ganska snabbt att division för komplexa tal inte riktigt fungerar som för de reella talen så det är nu man använder sig av något som heter komplexkonjugat. Vilket grafiskt kan ses i bilden till höger.

Med hjälp av komplexkonjugatet kan vi skriva kvoten mellan två komplexa tal z_1 och z_2 med formeln:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\bar{z_2}}{z_2\bar{z_2}} , så länge z_2\ne0 och där \bar{z_2} utgör komplexakonjugatet till z_2

Exempel:
z_1 = 2+2i\;och\;z_2 = 1+i,\;  \frac{z_1}{z_2}  =  \frac{z_1\bar{z_2}}{z_2\bar{z_2}}=\frac{{(2+2i)(1-i)}}{{(1+i)(1-i)}}={4 \over 2}=2

En sak som bör nämnas är att man genom denna metod omvandlar nämnaren till reell och därefter utför reell division på täljarens imaginär och realdel. Ibland som i exemplet ovan försvinner den imaginära delen och man får endast ett reellt svar, men så är inte alltid fallet.

Nämnaren kan heller aldrig bli 0 genom att man förlänger den med dess komplexkonjugat, om inte nämnaren redan var 0. Detta går lättast att förklara genom användandet av konjugatregeln som säger att (a+b)(a-b)= a^2 - b^2. I detta fall med komplexa tal kommer b utgöra vår imaginär del.

Ett komplext tal i kvadrat ger alltid ett negativt tal, alltså kommer vi då enligt konjugatregeln få a^2-(-b^2), med andra ord den reella delen, minus ett negativt reellt tal. Detta kommer aldrig kunna bli 0, då vi har en addition mellan två positiva tal.

Division med matriser[redigera | redigera wikitext]

Precis som tidigare har nämnts så utgör division motsatsen eller inversen till multiplikation. För matriser fungerar inte division riktigt på samma sätt utan där utgör multiplikation med en matrisinvers inversen till matrismultiplikation.

Om A och Y utgör två kända matriser och X är okänd så har matrisekvationen AX = Y lösningen X = A^{-1}Y, så länge A är inverterbar. Saknar däremot A invers kan matrisekvationen sakna lösning eller ha en parameterlösning, om A saknar invers är dess determinant lika med 0 och matrisen A innehåller även rader som är linjärt beroende.

Exempel:

Lösningen på AX = Y, där A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} , Y=\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} och X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, fås nu genom att först ta fram inversen A^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1 \\ 1,5&-0,5 \end{pmatrix}.

Eftersom X = A^{-1}Y, så är alltså X=\begin{pmatrix} -2&1 \\ 1,5&-0,5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}\Leftrightarrow X=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Polynomdivision[redigera | redigera wikitext]

Kvoten: \frac{q(x)}{p(x)} kan man få ut genom att använda sig av liggande stolen.

Men denna metod går endast att utnyttja så länge som q(x) har högre eller samma grad som p(x). Om däremot p(x) har högre grad än q(x) får man istället använda metoden partialbråksuppdelning och mer om detta kan läsas i artikeln om polynomdivision.

Derivatan för en kvot mellan funktioner[redigera | redigera wikitext]

Om vi har en funktion G(x) = \frac{f(x)}{k(x)} så är dess derivata G'(x)= \frac{f'(x)k(x)-f(x)k'(x)}{k(x)^2} ifall k(x)\ne0

Exempel:

G(x) = \frac{3x+2}{5x} har derivatan G'(x)= \frac{15x -15x+10}{25x^2}=\frac{10}{25x^2}

Övrigt[redigera | redigera wikitext]

Operationen kan också utläsas på flera sätt:

  • "a delat/dividerat med/på b"
  • "a genom b"
  • "b i a"

Här kallas a för täljare eller dividend, b kallas nämnare eller divisor.

Om b \not = 0 gäller: c = \frac{a}{b} \Leftrightarrow b \cdot c = a
Till exempel: 6 / 3 = 2 \ eftersom 2 \cdot 3 = 6.
Detta är oftast det första sättet man lär sig beräkna division på, att tänka "kvoten gånger nämnaren ska bli täljaren".

Vid heltalsdivision kan man skriva

a = b \cdot q + r, där a,b,q,r är heltal, och 0 \leq r < b

Då kallas q kvoten och r resten (vid division av a med b).

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Forsling, Göran och Neymark, Mats, "Matematisk analys en variabel", 2006, MAI (Linköpings Universitet)
  • Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2007, MAI (Linköpings Universitet)
  • Motz, Lloyd och Weaver Hane, Jefferson, "The story of Mathematics", 1993
  • Thompson, Jan, " Historiens matematik", 1991
  • http://www.maths.lth.se/query/answers/q200008.html

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]


Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.