Dominerade konvergenssatsen

Dominerade konvergenssatsen förkunnar att om $\mu$ är ett mått på en mängd $X$, $f_n$ är en följd av funktioner på $X$ som är integrerbara med avseende på $\mu$, sådana att de antingen konvergerar nästan överallt till en funktion $f$ eller

$\mu \{\, x : |f_n(x)-f(x)| > \varepsilon\,\} \to 0, \quad n \to \infty$

för varje $\varepsilon >0$, och $|f_n| \leq |g|$, där $g$ är en integrerbar funktion, så är $f$ integrerbar och

$\lim_{n \rightarrow \infty} \int |f_n - f| \, \mathrm{d}\mu =0.$

Bevis

Satsen kan bevisas enligt följande. Antag först att

$\mu \{\, x : |f_n(x)-f(x)| > \varepsilon\,\} \to 0, \quad n \to \infty$

för varje $\varepsilon >0$. Låt $E = \bigcup_{n=1}^\infty \{\, x : f_n(x) \ne 0 \,\}.$ Då är $E$ en $\sigma$-ändlig mängd, vilket är uppenbart om $\mu$ är ett $\sigma$-ändligt mått och eljest är en direkt följd av att $f_n$ är integrerbara funktioner. Sålunda kan $E$ skrivas som en union

$E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k,$

där $E_k \supset E_{k+1}$ och $\mu (E_k) < \infty$.

Låt $F_k = E \setminus E_k$. Då är

$\int_{F_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu \leq \int_{F_k} (|f_m| + |F_n|) \, \mathrm{d}\mu \leq 2 \int_{F_k} g \, \mathrm{d}\mu.$

Det följer att det för varje $\varepsilon_0 > 0$ finns ett tal $k_0$ sådant att

$\int_{F_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu < \varepsilon_0, \quad k \geq k_0,$

gäller för varje $m$ och $n$, alldenstund $\int_{F_k} g \, \mathrm{d}\mu \to 0$, när $k \to \infty$.

Låt $G_{m,n} = \{\, x : |f_m(x) - f_n(x)| \geq \varepsilon_1 \,\}$. Då är

$\int_{E_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu = \int_{E_k \setminus G_{m,n} } |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu + \int_{E_k \cap G_{m,n} } |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu \leq \varepsilon_1 \mu (E_k) + 2 \int_{E_k \cap G_{m,n}} g \,\mathrm{d}\mu.$

Ur antagandet om funktionerna $f_n$ följer att $\mu (G_{m,n}) \to 0$ när $m,n \to \infty$. Sålunda finns ett tal $n_0$ sådant att

$2 \int_{E_k \cap G_{m,n}} g \,\mathrm{d}\mu < \varepsilon_1,$

gäller för varje $m \geq n \geq n_0$. Detta ger nu att

$\int |f_m-f_n| \,\mathrm{d} \mu = \int_{F_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu + \int_{E_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu \leq \varepsilon_0 + \varepsilon_1 \mu (E_k) + \varepsilon_1,$

om $m\geq n\geq n_0$ och $k \geq k_0$. Härav följer att

$\limsup_{m,n \to \infty} \int |f_m-f_n| \, \mathrm{d}\mu \leq \varepsilon_0 + \varepsilon_1 \mu (E_k) + \varepsilon_1,$

och sålunda gäller att

$\limsup_{m,n \to \infty} \int |f_m-f_n| \, \mathrm{d}\mu \leq \varepsilon_0,$

eftersom $\mu(E_k) < 0$. Det är nu lätt att se att

$\lim_{n\to \infty} |f_n -f| \, \mathrm{d} \mu = 0,$

vilket bevisar satsen.

För att visa satsen när $f_n$ konvergerar till $f$ nästan överallt, räcker det att visa att

$\mu \{\, x : |f_n(x)-f(x)| > \varepsilon\,\} \to 0, \quad n \to \infty$

för varje $\varepsilon >0$. Låt

$E_n = \bigcup_{k=n}^\infty \{\, x : |f_k(x) - f(x)| \geq \varepsilon \,\} \supset \{\, x : g(x) \geq \varepsilon/2 \,\}.$

Eftersom $g$ är integrerbar så är $\mu (E_n) < \infty$ och eftersom $\lim_{n\to \infty} f_n = f$ nästan överallt så är $\mu(\bigcap_{n=1}^\infty E_n ) = 0$. Det följer att $\lim_{n\to\infty} \mu(E_n) = 0$. Enär $\{\, x : |f_n(x)-f(x)| \geq \varepsilon \,\} \subset E_n$, så följer det att

$\mu \{\, x : |f_n(x)-f(x)| > \varepsilon\,\} \to 0, \quad n \to \infty$

för varje $\varepsilon >0$. Detta slutför beviset av satsen.