Dominerade konvergenssatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Dominerade konvergenssatsen förkunnar att om \mu är ett mått på en mängd X, f_n är en följd av funktionerX som är integrerbara med avseende på \mu, sådana att de antingen konvergerar nästan överallt till en funktion f eller

\mu \{\, x : |f_n(x)-f(x)| > \varepsilon\,\} \to 0, \quad n \to \infty

för varje \varepsilon >0, och |f_n| \leq |g|, där g är en integrerbar funktion, så är f integrerbar och

 \lim_{n \rightarrow \infty} \int |f_n - f| \, \mathrm{d}\mu =0.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Satsen kan bevisas enligt följande. Antag först att

\mu \{\, x : |f_n(x)-f(x)| > \varepsilon\,\} \to 0, \quad n \to \infty

för varje \varepsilon >0. Låt E = \bigcup_{n=1}^\infty \{\, x : f_n(x) \ne 0 \,\}. Då är E en \sigma-ändlig mängd, vilket är uppenbart om \mu är ett \sigma-ändligt mått och eljest är en direkt följd av att f_n är integrerbara funktioner. Sålunda kan E skrivas som en union

E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k,

där E_k \supset E_{k+1} och \mu (E_k) < \infty .

Låt F_k = E \setminus E_k. Då är

\int_{F_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu \leq \int_{F_k} (|f_m| + |F_n|) \, \mathrm{d}\mu \leq 2 \int_{F_k} g \, \mathrm{d}\mu.

Det följer att det för varje \varepsilon_0 > 0 finns ett tal k_0 sådant att

\int_{F_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu < \varepsilon_0, \quad k \geq k_0,

gäller för varje m och n, alldenstund \int_{F_k} g \, \mathrm{d}\mu \to 0, när k \to \infty.

Låt G_{m,n} = \{\, x : |f_m(x) - f_n(x)| \geq \varepsilon_1 \,\}. Då är

\int_{E_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu = \int_{E_k \setminus G_{m,n} } |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu + \int_{E_k \cap G_{m,n} } |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu \leq \varepsilon_1 \mu (E_k) + 2 \int_{E_k \cap G_{m,n}} g \,\mathrm{d}\mu.

Ur antagandet om funktionerna f_n följer att \mu (G_{m,n}) \to 0 när m,n \to \infty. Sålunda finns ett tal n_0 sådant att

 2 \int_{E_k \cap G_{m,n}} g \,\mathrm{d}\mu < \varepsilon_1,

gäller för varje m \geq n \geq n_0. Detta ger nu att

\int |f_m-f_n| \,\mathrm{d} \mu = \int_{F_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu + \int_{E_k} |f_m - f_n| \, \mathrm{d} \mu \leq \varepsilon_0 + \varepsilon_1 \mu (E_k) + \varepsilon_1,

om m\geq n\geq n_0 och k \geq k_0. Härav följer att

\limsup_{m,n \to \infty} \int |f_m-f_n| \, \mathrm{d}\mu \leq \varepsilon_0 + \varepsilon_1 \mu (E_k) + \varepsilon_1,

och sålunda gäller att

\limsup_{m,n \to \infty} \int |f_m-f_n| \, \mathrm{d}\mu \leq \varepsilon_0,

eftersom \mu(E_k) < 0. Det är nu lätt att se att

\lim_{n\to \infty} |f_n -f| \, \mathrm{d} \mu = 0,

vilket bevisar satsen.

För att visa satsen när f_n konvergerar till f nästan överallt, räcker det att visa att

\mu \{\, x : |f_n(x)-f(x)| > \varepsilon\,\} \to 0, \quad n \to \infty

för varje \varepsilon >0. Låt

E_n = \bigcup_{k=n}^\infty \{\, x : |f_k(x) - f(x)| \geq \varepsilon \,\} \supset \{\, x : g(x) \geq \varepsilon/2 \,\}.

Eftersom g är integrerbar så är \mu (E_n) < \infty och eftersom \lim_{n\to \infty} f_n = f nästan överallt så är \mu(\bigcap_{n=1}^\infty E_n ) = 0. Det följer att \lim_{n\to\infty} \mu(E_n) = 0. Enär \{\, x : |f_n(x)-f(x)| \geq \varepsilon \,\} \subset E_n, så följer det att

\mu \{\, x : |f_n(x)-f(x)| > \varepsilon\,\} \to 0, \quad n \to \infty

för varje \varepsilon >0. Detta slutför beviset av satsen.