Dualbas

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En dualbas är ett begrepp inom linjär algebra som syftar på en speciell bas i ett vektorrums dualrum, givet en bas i det ursprungliga vektorrummet.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Givet ett ändligtdimensionellt vektorrum V och en bas till V bestående av element (ei), konstrueras en dualbas bestående av element (fi) i dualrummet V* genom:

f_i(e_j) = 
\begin{cases}
1 & i = j \\
0 & i \neq j
\end{cases}.

Linjäriteten hos funktionalerna fi gör att detta definierar fi:s värde för alla vektorer i V. Andra notationer för fi är ei* och ei.

Om V är ett ändligtdimensionellt vektorrum är dualbasen en bas för dualrummet. Är V oändligtdimensionellt är detta inte garanterat.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Komplexa tal[redigera | redigera wikitext]

Om man betraktar de komplexa talen som vektorrum över de reella talen och väljer basvektorerna 1 och i blir dualbasen Re och Im, de funktioner som avbildar ett komplext tal på dess real- respektive imaginärdel.

Polynomrum[redigera | redigera wikitext]

Låt V vara vektorrummet bestående av polynom med grad mindre än eller lika med 2, dvs polynom på formen ax2 + bx + c. Ta {1, x, x2} som bas för V. Vi får då dualbasen {f1, f2, f3}:

f_1(ax^2 + bx + c) = af_1(x^2) + bf_1(x) + cf_1(1) = c
f_2(ax^2 + bx + c) = af_2(x^2) + bf_2(x) + cf_2(1) = b
f_3(ax^2 + bx + c) = af_3(x^2) + bf_3(x) + cf_3(1) = a

Dualbasvektorerna kan tolkas som:

f_1(p) = p(0) \qquad f_2(p) = \frac{dp}{dx} (0) \qquad f_3(p) = \frac{1}{2} \frac{d^2 p}{dx^2}(0).

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 

Se även[redigera | redigera wikitext]