Egenvärde, egenvektor och egenrum

I denna transformation ändras den röda pilens riktning vilket inte är fallet med den blå pilen. Därför är den blå pilen en egenvektor med egenvärdet 1 då dess längd inte ändras

Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen.

Ett egenrum för ett egenvärde är det underrum som spänns upp av de linjärt oberoende egenvektorer som hör till egenvärdet.

Definitioner

Den linjära avbildningen A ändrar inte vektorns riktning, bara dess storlek. Alltså är x en egenvektor till A

Transformationsmatrisen $\bigl[ \begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{smallmatrix} \bigr]$ bevarar riktningen hos de vektorer som är parallella med vektorerna $\bigl( \begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \bigr)$ (i blått) och $\bigl( \begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix} \bigr)$ (i violett). Punkterna som ligger på en linje genom origo som är parallell med någon egenvektor, ligger kvar på linjen efter transformationen. De röda vektorerna är inte egenvektorer då deras riktningar ändras av transformationen

Låt F vara en linjär avbildning från ett linjärt rum V till samma rum. En vektor u skild från nollvektorn i V sådan att

$F(\mathbf{u}) = \lambda\mathbf{u}$

för något tal $\lambda$ kallas en egenvektor till F med egenvärdet $\lambda$.

Om F kan framställas som en matris A är

$\ A U = \lambda U$,

där matrisen U är en matris av egenvektorer.

Mängden av egenvärden kallas den linjära avbildningens spektrum.

Sekularekvationen

Vanligen löses egenvärdesproblemet för en kvadratisk matris A med ekvationen

$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$

vilken kan skrivas om till

$(A-\lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$

där I är enhetsmatrisen. Då x skall vara nollskild måste matrisen $A - \lambda I$ avbilda vissa vektorer på nollvektorn; matrisen måste vara icke inverterbar. En matris är inte inverterbar om och endast om matrisens determinant är noll, vilket leder till sekularekvationen

$\det (A - \lambda I) = 0$

som är ett polynom, det karaktäristiska polynomet. Polynomets nollställen $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_n$, är matrisens egenvärden.

Om $\lambda_i$ är en multipelrot som förekommer m gånger sägs $\lambda_i$ ha den algebraiska multipliciteten m.

Triangulär matris

Determinanten till en triangulär matris

$A = \begin{bmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n} \\ 0 &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n} \\ \vdots & & &\vdots \\ 0 &0 &\cdots &a_{n,n} \end{bmatrix}$

är produkten av elementen i diagonalen:

$\det A = a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdots a_{n,n}$

Sekularekvationen för en triangulär matris blir då

$\det(A - \lambda I) = (a_{1,1}-\lambda)\cdot(a_{2,2}-\lambda)\cdot\cdots (a_{n,n}-\lambda) = 0$

vilken uppenbarligen har lösningarna

$\lambda_1 = a_{1,1}, \lambda_2 = a_{2,2},...,\lambda_n = a_{n,n}$

En n×n matris kan överföras till en triangulär matris utan att dess egenvärden ändras.

Om A är en godtycklig n×n matris gäller därför

• A's spår är

$\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i= \lambda_1+ \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n$

• Determinanten till A är

$\det A = \prod \lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$

• Egenvärdena till $A^k$ är $\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k$

Exempel

Antag att en linjär avbildning ges av matrisen A enligt

$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$

Sekularekvationen

$\det \left( A- \lambda I \right) = 0$

blir

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 \\ -2 & -2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - \lambda - 2 = 0$

där det karaktäristiska polynomet i λ har rötterna

$\ \lambda_1 = -1,\quad\lambda_2 = 2$

vilka alltså är avbildningens egenvärden.

Enligt ekvationen

$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$

är de motsvarande egenvektorerna lösningarna till systemen

$\begin{cases} 3 x_1 + 2 x_2 &=-x_1\\ -2 x_1 - 2 x_2&=-x_2 \end{cases} \quad \begin{cases} 3 x_1 + 2 x_2 &= 2 x_1\\ -2 x_1 - 2 x_2 &= 2 x_2 \end{cases}$

Det första systemet har lösningen

$\ (t, -2t)$

och det andra lösningen

$\ (2t, -t)$

De till egenvärdena

$\ \lambda_1 = -1,\quad \lambda_2 = 2$

hörande egenvektorerna är alltså

$\ (1, -2),\quad(2, -1)$

och alla vektorer som är parallella med dessa.

Egenrum

Egenrummet till ett egenvärde av en linjärtransformation är det vektorrum som spänns upp av de linjärt oberoende egenvektorerna till linjärtransformationen som svarar mot detta egenvärde. Antalet av dessa linjärt oberoende egenvektorer är egenrummets dimension och kallas egenvärdets geometriska multiplicitet.

Den geometriska multipliciteten är alltid mindre än eller lika med den algebraiska multipliciteten.

Egenrummen fås, när egenvärdena är kända, genom ekvationen

$(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$

som löses för vektorn x, exempelvis som ett linjärt ekvationssystem.

Exempel

$A = \begin{bmatrix} 3 &1 &1\\ 1 &3 &1 \\ 1 &1 &3 \end{bmatrix}$ Bestäm de egenrum som hör till matrisen A's egenvärden. Sekularekvationen $\det (A - \lambda I) = 0$ ger den karaktäristiska ekvationen $\det \begin{bmatrix} 3-\lambda &1 &1 \\ 1 &3-\lambda &1 \\ 1 &1 &3-\lambda \end{bmatrix} = -\lambda^3+9\lambda^2-24\lambda+20=0$ vars lösningar är egenvärdena $\lambda_1=5, \lambda_{2,3}=2$ Enligt ekvationen $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ är egenvektorerna lösningarna till ekvationssystemet $\begin{bmatrix} 3 &1 &1 \\ 1 &3 &1 \\ 1 &1 &3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} =\lambda \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{array}{ccc|c} 3-\lambda &1 &1 &0 \\ 1 &3-\lambda &1 &0 \\ 1 &1 &3-\lambda &0 \end{array}$ Ekvationssystemet kan lösas genom att först görs en triangulering. Beräkning av egenrum och egenvektor för egenvärdet 5 $\begin{array}{ccc|c} 3-5 &1 &1 &0 \\ 1 &3-5 &1 &0 \\ 1 &1 &3-5 &0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{ccc|c} -2 &1 &1 &0 \\ 1 &-2 &1 &0 \\ 1 &1 &-2 &0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{ccc|c} -2 &1 &1 &0 \\ 0 &3 &-3 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \end{array}$ x3 kan sättas till den godtyckliga parametern t och lösningen är $\mathbf{x} = t\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ Det till egenvärdet 5 hörande egenrummet är endimensionellt då egenvektorn x beskriver en linje. Beräkning av egenrum och egenvektorer för egenvärdet 2 $\begin{array}{ccc|c} 3-2 &1 &1 &0 \\ 1 &3-2 &1 &0 \\ 1 &1 &3-2 &0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{ccc|c} 1 &1 &1 &0 \\ 1 &1 &1 &0 \\ 1 &1 &1 &0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{ccc|c} 1 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \end{array}$ x2 och x3 kan sättas till de godtyckliga parameterarna s respektive t och lösningen är $\begin{array}{cc} x_1 =& -s-t\\ x_2 =& s\\ x_3 =& t \end{array} \Rightarrow \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ Det till egenvärdet 2 hörande egenrummet är tvådimensionellt då egenvektorerna $\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ spänner upp ett plan.

Transformationer i planet

Tabellen visar några exempel på transformationer i planet tillsammans med dessas 2×2 matriser, egenvärden och egenvektorer.

	Horisontell skjuvning	Skalning	Olikformig skalning	Moturs rotation med $\varphi$ radianer
Illustration
Matris	$\begin{bmatrix}1 & k\\ 0 & 1\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}k & 0\\0 & k\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}k_1 & 0\\0 & k_2\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{bmatrix}$
Karaktäristisk ekvation	λ2 − 2λ+1 = (1 − λ)2 = 0	λ2 − 2λk + k2 = (λ − k)2 = 0	(λ − k1)(λ − k2) = 0	λ2 - 2λ cos f + 1 = 0
Egenvärden λi	λ1=1	λ1=k	λ1 = k1, λ2 = k2	λ1,2 = cos f ± i sin f = e ± if
Algebraiska och geometriska multipliciteter	n1 = 2, m1 = 1	n1 = 2, m1 = 2	n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1	n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1
Egenvektorer	$\mathbf u_1 = (1, 0)$	$\mathbf u_1 = (1, 0), \mathbf u_2 = (0,1)$	$\mathbf u_1 = (1, 0), \mathbf u_2 = (0,1)$	$\mathbf u_1 = \begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}, \mathbf u_2 = \begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}.$

Tillämpningar

Egenvärdesproblem har varit en viktig del inom matematiken och dess tillämpningar under mer än tvåhundra år. Inom mekaniken ger egenvärden resonansfrekvenser för mekaniska system. De grundtoner som frambringas av till exempel stränginstrument motsvaras av egenvärden för den svängande strängen. Inom kvantmekaniken är egenvärden av fundamental betydelse. De bestämmer till exempel de möjliga energinivåerna hos atomer och molekyler.

Matematiskt har egenvärdena och egenvektorerna betydelse vid diagonalisering av matriser och i det allmännare fallet Jordans normalform.

Se även

• Generaliserad egenvektor
• Egenfunktion