Egenvärde, egenvektor och egenrum

I denna transformation ändras den röda pilens riktning vilket inte är fallet med den blå pilen. Därför är den blå pilen en egenvektor med egenvärdet 1 då dess längd inte ändras

Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen.

Ett egenrum för ett egenvärde är det underrum som spänns upp av de egenvektorer som hör till egenvärdet.

Definitioner

Den linjära avbildningen A ändrar inte vektorns riktning, bara dess storlek. Alltså är x en egenvektor till A

Låt F vara en linjär avbildning från ett linjärt rum V till samma rum. En vektor u skild från nollvektorn i V sådan att

$F(\mathbf{u}) = \lambda\mathbf{u}$

för något tal $\lambda$ kallas en egenvektor till F med egenvärdet $\lambda$.

Om F kan framställas som en matris A är

$\ A U = \lambda U$,

där matrisen U är en matris av egenvektorer.

Egenrummet

Egenrummet till ett egenvärde av en linjärtransformation är det vektorrum av alla egenvektorer till linjärtransformationen som har detta egenvärde.

Algebraisk multiplicitet

Den algebraiska multipliciteten av ett egenvärde är multipliciten för egenvärdet i sekularekvationen (beskrivs under "Lösningsmetoder").

Geometrisk multiplicitet

Den geometriska multipliciteten av ett egenvärde är dimensionen av det tillhörande egenrummet.

Spektrum

Spektrumet av en transformation på ett vektorrum är mängden av dess egenvärden. I det oändligdimensionella fallet är konceptet med spektrum mer subtilt och beror av topologin hos vektorrummet.

Lösningsmetoder

Vanligen löses egenvärdesproblemet för en kvadratisk matris A med ekvationen

$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$

vilken kan skrivas om till

$(A-\lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$

där I är enhetsmatrisen. Då x skall vara nollskild måste matrisen $A - \lambda I$ avbilda vissa vektorer på nollvektorn; matrisen måste vara icke inverterbar. En matris är inte inverterbar om och endast om matrisens determinant är noll, vilket leder till sekularekvationen

$\det (A - \lambda I) = \mathbf{0}$

som är ett polynom. Polynomets nollställen $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_n$, är matrisens egenvärden.

Egenrummen fås, när egenvärdena är kända, genom ekvationen

$(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$

som löses för vektorn x, exempelvis som ett linjärt ekvationssystem.

Exempel

Antag att en linjär avbildning ges av matrisen A enligt

$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$

Sekularekvationen

$\det \left( A- \lambda I \right) = 0$

blir

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 \\ -2 & -2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - \lambda - 2 = 0$

där andragradsekvationen i $\lambda$ har rötterna

$\ \lambda_1 = -1,\quad\lambda_2 = 2$

vilka alltså är avbildningens egenvärden.

Enligt ekvationen

$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$

är de motsvarande egenvektorerna lösningarna till systemen

$\begin{cases} 3 x_1 + 2 x_2 &=-x_1\\ -2 x_1 - 2 x_2&=-x_2 \end{cases} \quad \begin{cases} 3 x_1 + 2 x_2 &= 2 x_1\\ -2 x_1 - 2 x_2 &= 2 x_2 \end{cases}$

Det första systemet har lösningen

$\ (t, -2t)$

och det andra lösningen

$\ (2t, -t)$

De till egenvärdena

$\ \lambda_1 = -1,\quad \lambda_2 = 2$

hörande egenvektorerna är alltså

$\ (1, -2),\quad(2, -1)$

och alla vektorer som är parallella med dessa.

Transformationer i planet

Tabellen visar några exempel på transformationer i planet tillsammans med dessas 2×2 matriser, egenvärden och egenvektorer.

	Horisontell skjuvning	Skalning	Olikformig skalning	Moturs rotation med $\varphi$ radianer
Illustration
Matris	$\begin{bmatrix}1 & k\\ 0 & 1\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}k & 0\\0 & k\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}k_1 & 0\\0 & k_2\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{bmatrix}$
Karaktäristisk ekvation	λ2 − 2λ+1 = (1 − λ)2 = 0	λ2 − 2λk + k2 = (λ − k)2 = 0	(λ − k1)(λ − k2) = 0	λ2 - 2λ cos f + 1 = 0
Egenvärden λi	λ1=1	λ1=k	λ1 = k1, λ2 = k2	λ1,2 = cos f ± i sin f = e ± if
Algebraiska och geometriska multipliciteter	n1 = 2, m1 = 1	n1 = 2, m1 = 2	n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1	n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1
Egenvektorer	$\mathbf u_1 = (1, 0)$	$\mathbf u_1 = (1, 0), \mathbf u_2 = (0,1)$	$\mathbf u_1 = (1, 0), \mathbf u_2 = (0,1)$	$\mathbf u_1 = \begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}, \mathbf u_2 = \begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}.$

Tillämpningar

Egenvärdesproblem har varit en viktig del inom matematiken och dess tillämpningar under mer än tvåhundra år. Inom mekaniken ger egenvärden resonansfrekvenser för mekaniska system. De grundtoner som frambringas av till exempel stränginstrument motsvaras av egenvärden för den svängande strängen. Inom kvantmekaniken är egenvärden av fundamental betydelse. De bestämmer till exempel de möjliga energinivåerna hos atomer och molekyler.

Matematiskt har egenvärdena och egenvektorerna betydelse vid diagonalisering av matriser och i det allmännare fallet Jordans normalform.

Se även

• Generaliserad egenvektor